Question

已知函数f(x)=-x²+ax+b(a,b∈R)的值域为(-∞,0]，若关于x的不等式f(x)>c-1的解集为(m-4,m+1)，

已知函数f(x)=-x²+ax+b(a,b∈R)的值域为(-∞,0]，若关于x的不等式f(x)>c-1的解集为(m-4,m+1)，则实数c的值为（ ）

Answer 1

f(x)=-x²+ax+b(a,b∈R)的值域为(-∞,0]
则其极大值为0，即，与x轴只有一个交点，判别式△=a²+4b=0 ......(1)

关于x的不等式f(x)>c-1的解集为(m-4,m+1)
表明直线y=x-1与y=-x²+ax+b图像交点的横坐标分别为x1=m-4和x2=m+1，对称轴的横坐标x=(x1+x2)/2=(m-4+m+1)/2=(2m-3)/2 = -a/(2×(-1)) = a/2，即a=2m-3，b=-a²/4 = -（2m-3)²/4
f(x) = -x² + (2m-3)x - (2m-3)²/4
c-1 = f(m+1) = -(m+1)² + (2m-3)(m+1) - (2m-3)²/4 = 2m² - 25/4

则实数c的值为（ 2m²-25/4 ）