Question

刘老师请问 满秩矩阵乘以满秩矩阵的结果是满秩矩阵吗？ 能不能给证明一下 谢谢！

Answer 1

满秩矩阵乘以满秩矩阵的结果是满秩矩阵，两个列满秩矩阵相乘得到的矩阵一定列满秩。因为满秩，所以|A|>0,|B|>0,而|AB|=|A|*|B|>0,所以AB满秩。

若矩阵秩等于行数，称为行满秩；若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。行满秩矩阵就是行向量线性无关，列满秩矩阵就是列向量线性无关；所以如果是方阵,行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。

扩展资料：

矩阵的秩定义

A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

特别规定零矩阵的秩为零。

显然rA≤min(m,n) 易得：

若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。

由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A)≠0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。

由行列式的性质知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的，即rank(A)=rank(AT)。

参考资料：百度百科-满秩矩阵

Answer 2

满秩矩阵乘以满秩矩阵的结果一定是满秩矩阵。
所谓满秩矩阵，通常是对方阵而言。（如果不是方阵，则称为行满秩或列满秩）。
而方阵满秩，就是指它可逆。
矩阵可逆当且仅当其行列式不为0.
满秩矩阵乘以满秩矩阵即可逆矩阵乘以可逆矩阵。
两个可逆矩阵的乘积的行列式等于其行列式的乘积，故也不为0.
所以两个满秩矩阵乘以满秩矩阵的结果一定是满秩矩阵。

追问

首先很感谢，觉得说的很有调理,那么想问问如果不是方阵呢？就是所谓的行满秩或者列满秩呢？

追答

如果不是方阵,就必须满足两个矩阵可以相乘，即前一个矩阵的列数要等于后一个矩阵的行数。

但这时，乘积矩阵却未必的行满秩或列满秩的。

Answer 3

引用ldydc的回答：
满秩矩阵乘以满秩矩阵的结果一定是满秩矩阵。
所谓满秩矩阵，通常是对方阵而言。（如果不是方阵，则称为行满秩或列满秩）。
而方阵满秩，就是指它可逆。
矩阵可逆当且仅当其行列式不为0.
满秩矩阵乘以满秩矩阵即可逆矩阵乘以可逆矩阵。
两个可逆矩阵的乘积的行列式等于其行列式的乘积，故也不为0.
所以两个满秩矩阵乘以满秩矩阵的结果一定是满秩矩阵。

两个列满秩矩阵相乘得到的矩阵一定列满秩

Answer 4

同阶可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵
A可逆的充要条件是 ｜A｜不等于0

｜AB｜＝｜A｜｜B｜不等于0