Question

高数题求解。。。设函数f（x）在0到1上闭区间连续，证明

Answer 1

sin（π-t）=sint
x=π-t
dx=-dt
x=0 t=π
x=π t=0
∫(0~π) xf(sinx)dx= - ∫（π~0） [π-t]f(sint)dt
=∫（0~π）（π - t）f(sint)dt
=∫（0~π） πf(sint)dt - ∫（0~π）tf(sint)dt 【直接把T看成X】 所以∫(0~π) xf(sinx)dx= ∫（0~π） π f(sinx)dx - ∫（0~π）xf(sint)dx 所以2*∫(0~π) xf(sinx)dx∫（0~π） π f(sinx)dx

Answer 2

证明如下

追答

令x=π-t

令A=∫xf(sinx)dx

A=∫(π-t)f(sin(π-t))d(π-t)

=∫(π-t)f(sint)dt

=∫πf(sint)dt-A

A =∫πf(sint)dt-A

A=π/2 ∫f(sinx)dx,得证

手打不易，敬请采纳