Question

如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，P是BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。求证：PE+PF=BD

如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，P是BC上任意一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F。求证：PE+PF=BD

Answer 1

证明：过P作PG⊥BD于G， ∵∠1=∠2=∠3=90°， ∴四边形PGDF是矩形， ∴PF=GD ①  ∵∠1+∠3=180° ∴PG//AC ∴∠BPG=∠C 又∵AB=AC ∴∠ABC=∠C ∴∠BPG=∠ABC 再 ∵∠4=∠5=90°，BP=PB ∴△BPE≌△PBG（AAS） ∴PE=BG ② ①+ ②：PE+PF=BG+GD， 即 PE+PF=BD。