Question

在△ABC，∠BAC为锐角，AB>AC， AD平分∠BAC交BC于点D．（1）如图1，若△ABC是等腰直角三角形，直接写

在△ABC，∠BAC为锐角，AB>AC， AD平分∠BAC交BC于点D．（1）如图1，若△ABC是等腰直角三角形，直接写出线段AC，CD，AB之间的数量关系；（2）BC的垂直平分线交AD延长线于点E，交BC于点F．①如图2，若∠ABE=60°，判断AC，CE，AB之间有怎样的数量关系并加以证明；②如图3，若 ，求∠BAC的度数．

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Answer 1

（1）AB="AC+CD;" （2）①AB=AC+CE，证明见解析;②60°．

试题分析：（1）如图,过D点作DH⊥AB于点H,则根据角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,得AB=AH+HB=AC+DH=AC+CD. （2）①在线段AB上截取AH=AC，连接EH,证明△EHB是等边三角形即可得出结论. ②在线段AB上截取AH=AC，连接EH，作EM⊥AB于点M,求得 得∠EAB=30°,从而∠BAC=2∠EAB=60°． 试题解析：（1）AB=AC+CD. （2）①AB=AC+CE，证明如下： 如图,在线段AB上截取AH=AC，连接EH． ∵AD平分∠BAC，∴ ． 又∵AE=AE，∴△ACE≌△AHE．∴CE=HE． ∵EF垂直平分BC，∴CE=BE． 又∠ABE=60°，∴△EHB是等边三角形． ∴BH=HE．∴AB=AH+HB=AC+CE． ②如图,在线段AB上截取AH=AC，连接EH，作EM⊥AB于点M． 易证△ACE≌△AHE，∴CE=HE．∴△EHB是等腰三角形．∴HM=BM． ∴AC+AB=AH+AB=AM-HM+AM+MB=2AM． ∵ ，∴ ． 在Rt△AEM中， ，∴∠EAB=30°． ∴∠BAC=2∠EAB=60°．