Question

已知命题p：在x∈[1，2]内，不等式x 2 +ax-2＞0恒成立；命题q：函数 f(x)=lo g 1 3 ( x

已知命题p：在x∈[1，2]内，不等式x 2 +ax-2＞0恒成立；命题q：函数 f(x)=lo g 1 3 ( x 2 -2ax+3a) 是区间[1，+∞）上的减函数．若命题“p?q”是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

∵x∈[1，2]时，不等式x 2 +ax-2＞0恒成立 ∴ a＞ 2- x 2 x = 2 x -x 在x∈[1，2]上恒成立， 令 g(x)= 2 x -x ，则g（x）在[1，2]上是减函数， ∴g（x） max =g（1）=1，∴a＞1．即若命题p真，则a＞1； 又∵函数 f(x)=lo g 1 3 ( x 2 -2ax+3a) 是区间[1，+∞）上的减函数， ∴ u(x)= x 2 -2ax+3a是[1，+∞)上的增函数 u(x)= x 2 -2ax+3a＞0在[1，+∞)上恒成立 ∴ a≤1 u(1)＞0 ∴-1＜a≤1．即若命题q真，则-1＜a≤1． 若命题“p?q”是真命题，则有p真q假或p假q真或p，q均为真命题， 若p真q假，则有a＞1，若p假q真，则有-1＜a≤1，若p，q均为真命题，不存在a； 综上可得实数a的取值范围是a＞-1．