数学课上,李老师出示了如下框中的题目.小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:(1)特殊情况?探索结论
数学课上,李老师出示了如下框中的题目.小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:(1)特殊情况?探索结论当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与的DB大小关系.请你直接写...
数学课上,李老师出示了如下框中的题目.小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:(1)特殊情况?探索结论当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与的DB大小关系.请你直接写出结论:AE______DB(填“>”,“<”或“=”).(2)特例启发,解答题目解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE______DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F,(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论,设计新题在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).
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1个回答
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(1)答案为:=.
(2)答案为:=.
证明:在等边△ABC中,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=BC=AC,
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,
∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°,
∴AE=AF=EF,
∴AB-AE=AC-AF,
即BE=CF,
∵∠ABC=∠EDB+∠BED,∠ACB=∠ECB+∠FCE,
∵ED=EC,
∴∠EDB=∠ECB,
∵∠EBC=∠EDB+∠BED,∠ACB=∠ECB+∠FCE,
∴∠BED=∠FCE,
在△DBE和△EFC中
,
∴△DBE≌△EFC(SAS),
∴DB=EF,
∴AE=BD.
(3)解:分为四种情况:
如图:
∵AB=AC=1,AE=2,
∴B是AE的中点,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC=1,△ACE是直角三角形(根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半),
∴∠ACE=90°,∠AEC=30°,
∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°,∠DBE=∠ABC=60°,
∴∠DEB=180°-30°-60°=90°,
即△DEB是直角三角形.
∴BD=2BE=2(30°所对的直角边等于斜边的一半),
即CD=1+2=3.
如图2,
过A作AN⊥BC于N,过E作EM⊥CD于M,
∵等边三角形ABC,EC=ED,
∴BN=CN=
BC=
,CM=MD=
CD,AN∥EM,
∴△BAN∽△BEM,
∴
=
,
∵△ABC边长是1,AE=2,
∴
=
,
∴MN=1,
∴CM=MN-CN=1-
=
,
∴CD=2CM=1;
如图3,∵∠ECD>∠EBC(∠EBC=120°),而∠ECD不能大于120°,否则△EDC不符合三角形内角和定理,
∴此时不存在EC=ED;
如图4
∵∠EDC<∠ABC,∠ECB>∠ACB,
又∵∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠ECD>∠EDC,
即此时ED≠EC,
∴此时情况不存在,
答:CD的长是3或1.
(2)答案为:=.
证明:在等边△ABC中,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,AB=BC=AC,
∵EF∥BC,
∴∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,
∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°,
∴AE=AF=EF,
∴AB-AE=AC-AF,
即BE=CF,
∵∠ABC=∠EDB+∠BED,∠ACB=∠ECB+∠FCE,
∵ED=EC,
∴∠EDB=∠ECB,
∵∠EBC=∠EDB+∠BED,∠ACB=∠ECB+∠FCE,
∴∠BED=∠FCE,
在△DBE和△EFC中
|
∴△DBE≌△EFC(SAS),
∴DB=EF,
∴AE=BD.
(3)解:分为四种情况:
如图:
∵AB=AC=1,AE=2,
∴B是AE的中点,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=BC=1,△ACE是直角三角形(根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半),
∴∠ACE=90°,∠AEC=30°,
∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°,∠DBE=∠ABC=60°,
∴∠DEB=180°-30°-60°=90°,
即△DEB是直角三角形.
∴BD=2BE=2(30°所对的直角边等于斜边的一半),
即CD=1+2=3.
如图2,
过A作AN⊥BC于N,过E作EM⊥CD于M,
∵等边三角形ABC,EC=ED,
∴BN=CN=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴△BAN∽△BEM,
∴
AB |
AE |
BN |
MN |
∵△ABC边长是1,AE=2,
∴
1 |
2 |
| ||
MN |
∴MN=1,
∴CM=MN-CN=1-
1 |
2 |
1 |
2 |
∴CD=2CM=1;
如图3,∵∠ECD>∠EBC(∠EBC=120°),而∠ECD不能大于120°,否则△EDC不符合三角形内角和定理,
∴此时不存在EC=ED;
如图4
∵∠EDC<∠ABC,∠ECB>∠ACB,
又∵∠ABC=∠ACB=60°,
∴∠ECD>∠EDC,
即此时ED≠EC,
∴此时情况不存在,
答:CD的长是3或1.
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