Question

设函数y=f（x）由参数方程x＝2t+t2y＝ψ(t)(t＞?1)所确定，其中ψ（t）具有2阶导数，且ψ（1）=52，ψ′

设函数y=f（x）由参数方程x＝2t+t2y＝ψ(t)(t＞?1)所确定，其中ψ（t）具有2阶导数，且ψ（1）=52，ψ′（1）=6，已知d2ydx2＝34(1+t)，求函数ψ（t）．

Answer 1

由：

x＝2t+t2 y＝ψ(t)

(t＞?1)，
得：

dy

dx

＝

dy dt

dx dt

＝

ψ′

2+2t

，

d2y

dx

＝

d

dx

dy

dx

＝

d dt dy dx

dx dt

＝

ψ″? 1 2+2t +ψ′?[? 1 2(1+t)2 ]

2+2t

=

(1+t)ψ″?ψ′

4(1+t)3

，
由：

d2y

dx2

＝

3

4(1+t)

，得：

(1+t)ψ″?ψ′

4(1+t)3

=

3

4(1+t)

，
所以：（1+t）ψ″-ψ′=3（1+t）²，
令：ψ′=p，
则有：
（1+t）p′-p=3（1+t）²，
p′?

1

1+t

p＝3(1+t)，
p＝e?∫?

1

1+t

dt[∫3(1+t)e∫?

1

1+t

dtdt+C]=（1+t）（∫3dt+c）=（1+t）（3t+c），c为任意常数，
由于：ψ′（1）=6，即：p=6，
所以：c=0，
从而：p=（1+t）3t=3t+3t²，