Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）求函数F（x）的单调区间；（II

已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax（a＞0），设F（x）=f（x）+g（x）．（Ⅰ）求函数F（x）的单调区间；（II）是否存在实数m，使得函数y=g（2ax2+1）+m-1的图象与函数y=f（1+x2）的图象恰有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

（I）F（x）=f（x）+g（x）=lnx+

a

x

（a＞0），
F′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x?a

x2

（x＞0）．
∵a＞0，由F′（x）＞0?x∈（a，+∞），∴F（x）在（0，+∞）上单调递增．
由F′（x）＜0?x∈（0，a），∴F（x）在（0，a）上单调递减．
∴F（x）的单调递减区间为（0，a），单调递增区间为（a，+∞）

（II）若y=g（

2a

x2+1

）+m-1=

1

2

x²+m-

1

2

的图象与y=f（1+x²）=ln（x²+1）的图象恰有四个不同得交点，
即有四个不同的根，亦即m=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

有四个不同的根．
令G（x）=ln（x²+1）-

1

2

x²+

1

2

，则G′（x）=

2x

x2+1

-x=

2x?x3?x

x2+1

=

?x(x+1)(x?1)

x2+1

当x变化时，G′（x）、G（x）的变化情况如下表：

由表格知：G（x）_最小值=G（0）=

1

2

，G（x）_{（最大值）}=G（1）=G（-1）=ln2＞0．
画出草图和验证G（2）=G（-2）=ln5-2+

1

2

＜

1

2

可知，当m∈（

1

2

，ln2）时，y=G（x）与y=m恰有四个不同的交点．
∴当m∈（

1

2

，ln2）时，y=g（

2a

x2+1

）+m-1=

1

2

x²+m-

1

2

的图象与y=f（1+x²）=ln（x²+1）的图象恰有四个不同的交点．