如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，AD是BC边上的高．作正方形DEFG，使点A、C分别在D
如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，AD是BC边上的高．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，且DE=BC，且连接AE、BG．（1...
如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，AD是BC边上的高．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，且DE=BC，且连接AE、BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，或小于90°），DG、DE分别交AB、AC于点M和N（如图②），则（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．（3）在（2）的情况下，当AE∥BC时，求AM的值．
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（1）猜想BG=AE，
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD=DA，
在正方形DEFG中：GD=DE，∠GDB=∠EDA，
在Rt△BDG和Rt△ADE中，
∴Rt△BDG≌Rt△ADE（SAS），
∴BG=AE；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°，
∵EFGD为正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE，
在△BDG和△AED中，
，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE；
（3）∵△ABC是等腰直角三角形，AD是BC边上的高，
∴∠5=∠6=∠7=45°，
∵BD=AD，∠3=∠2，
∴△BDM≌△ADN，
∴BM=AN，
∵AB=BC?cos∠7=2cos45°=
，
∴AN=BM=AB-AM=
-AM，
∵AE∥BC，
∴∠EAD=180°-∠ADC=90°，
∵AD=
BC=
×1=1，DE=BC=2，
∴AE=
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD=DA，
在正方形DEFG中：GD=DE，∠GDB=∠EDA，
在Rt△BDG和Rt△ADE中，
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∴Rt△BDG≌Rt△ADE（SAS），
∴BG=AE；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB=90°，
∵EFGD为正方形，
∴DE=DG，且∠GDE=90°，
∴∠ADG+∠ADE=90°，
∴∠BDG=∠ADE，
在△BDG和△AED中，
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∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG=AE；
（3）∵△ABC是等腰直角三角形，AD是BC边上的高，
∴∠5=∠6=∠7=45°，
∵BD=AD，∠3=∠2，
∴△BDM≌△ADN，
∴BM=AN，
∵AB=BC?cos∠7=2cos45°=
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∴AN=BM=AB-AM=
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∵AE∥BC，
∴∠EAD=180°-∠ADC=90°，
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∴AE=
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