Question

如图1，分别以△ABC的边AB、AC为边长，在△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD和BE交于点P．（

如图1，分别以△ABC的边AB、AC为边长，在△ABC外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD和BE交于点P．（1）判断线段CD和BE有何数量关系，并说明理由．（2）如图2，若△ADB和△ACE都是等腰三角形，且AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，连接CD和BE交于点P，判断线段CD和BE的数量关系，并说明理由．（3）如图2，若∠BPD=α，∠ADB=β，请直接写出α与β的数量关系．

Answer 1

解答：证明：（1）∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△AC，
∴AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；

（2）CD=DE，
理由：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；

（3）α+2β=180°，
∵△DAC≌△BAE，
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠BPC=∠PDB+∠DBE=∠PDB+∠ABD+∠ABE=∠PDB+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=2∠ADB=2β，
∴α+2β=180°．

Answer 2

解答：证明：（1）∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△AC，
∴AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中
AD=AB
∠DAC=∠BAE
AC=AE
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；