Question

已知函数f（x）=3+log2x，x∈[1，16]，若函数g（x）=[f（x）]2+2f（x2）．（1）求函数g（x）的定义域；（

已知函数f（x）=3+log2x，x∈[1，16]，若函数g（x）=[f（x）]2+2f（x2）．（1）求函数g（x）的定义域；（2）求函数g（x）的最值．

Answer 1

（1）要使函数g（x）的解析式有意义，
则

x∈[1，16] x2∈[1，16]

，
解得x∈[1，4]，
故函数g（x）的定义域为[1，4]，
（2）令t=log₂x，x∈[1，4]，
则t∈[0，2]，
y=g（x）=[f（x）]²+2f（x²）=（3+log₂x）²+2（3+log₂x²）=（log₂x+5）²-10=（t+5）²-10，
由函数y=（t+5）²-10的图象是开口朝上且以直线t=-5为对称轴的抛物线，
故函数y=（t+5）²-10在[0，2]上单调递增，
故当t=0时，y=g（x）取最小值15，
当t=2，y=g（x）取最大值39，