Question

初三数学如图，Rt△ABE中，AB⊥AE以AB为直径作⊙O，交BE于C，弦CD⊥AB,F为AE上一点，连FC，则FC = FE.

如图，Rt△ABE中，AB⊥AE以AB为直径作⊙O，交BE于C，弦CD⊥AB,F为AE上一点，连FC，则FC = FE.
(1)求证CF是⊙O的切线.
(2)已知点P为⊙O上一点，且tan∠APD = 1/2 ,
连CP，求sin∠CPD的值.

Answer 1

（1）连结CO，
因为FE=FC，所以角FEC=角FCE
所以角FCE+角OBC=90°
又因为CO=BO，所以角OCB=角OBC
所以角OCB+角FCE=90°
所以角FCO=90°，所以FC垂直于CO，所以是切线
（2） 因为在圆上，
所以角APD=角ABD
所以AD/BD=tan∠APD = 1/2，所以可知sin∠ABD=1/（根号（5）），
cos∠ABD=2/(根号(5))~~~~~~~~~~~~~~~~~~结论1
因为∠CPD=∠CBD
所以sin∠CPD=sin∠CBD=sin(2*(角ABD))
所以有二倍角公式，代入结论1，可知sin∠CPD=sin∠CBD=4/5
（不知是否超过初中知识范围了，高三要复习，就先这样吧。）

Answer 2

解：（1）
连接OC
因为 FC=FE
所以角E=角ECF
因为OC=OB 所以角B=角OCB
又因为在Rt△ABE中角E+角B=180-角BAE=180-90=90
所以角ECF + 角OCB=90
所以角OCF=180-（角ECF + 角OCB）=90
所以CF⊥OC
所以CF是⊙O的切线.
（2） 连接BD
因为在圆上，
所以角APD=角ABD
所以AD/BD=tan∠APD = 1/2，所以可知sin∠ABD=1/（根号（5）），
cos∠ABD=2/(根号(5))~~~~~~~~~~~~~~~~~~结论1
因为∠CPD=∠CBD
所以sin∠CPD=sin∠CBD=sin(2*(角ABD))
所以有二倍角公式，代入结论1，可知sin∠CPD=sin∠CBD=4/5