Question

已知：如图，在△ABC中，∠BCA=90°，D、E分别是AC、AB的中点，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠A．（1）求证

已知：如图，在△ABC中，∠BCA=90°，D、E分别是AC、AB的中点，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠A．（1）求证：四边形DECF是平行四边形；（2） BC AB = 3 5 ，四边形EBFD的周长为22，求四边形DECF的面积．（注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．）

Answer 1

（1）证明：∵AE=EB，AD=DC， ∴ED ∥ BC． ∵点F在BC延长线上， ∴ED ∥ CF． ∵AD=DC，ED=DE，∠ADE=∠EDC， ∴△ADE≌△CDE． ∴∠A=∠ECD． ∵∠CDF=∠A， ∴∠CDF=∠ECD． ∴EC ∥ DF． ∴四边形DECF是平行四边形． （2）∵AE=EC=EB= 1 2 AB，ED ∥ CF，EC ∥ DF，D、E分别是AC、AB的中点， ∴ED=CF= 1 2 BC． ∵EBFD周长为22， ∴2BC+AB=22． ∵ BC AB = 3 5 ， ∴AB= 5 3 BC． ∴（2+ 5 3 ）BC=22． ∴BC=6．EC=5 ∴ED=3．∴DC=4， ∴四边形DECF的面积=3×4=12．