Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E。 （1）求证：AC平分∠DAB；（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）若CD=4，AC=4 ，求垂线段OE的长。

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Answer 1

解：（1）连接OC， ∵CD切⊙O于点C， ∴OC⊥CD， 又∵AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠OCA=∠OAC， ∴∠OAC=∠DAC， ∴AC平分∠DAB； （2）点O作线段AC的垂线OE，如图所示 （3）在Rt△ACD中，CD=4，AC=4 ， ∴AD= =8， ∵OE⊥AC， ∴AE= AC=2 ， ∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC， ∴△AEO∽△ADC， ∴ ， ∴OE= ×CD= ×4= ， 即垂线段OE的长为 。