Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，若任意的a、b∈[-1，1]，且a+b≠0，都有 f(a)+f(b) a+b

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，若任意的a、b∈[-1，1]，且a+b≠0，都有 f(a)+f(b) a+b ＞0 ．（1）判断f（x）在[-1，1]上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式：f（x+1）＜f（ 1 x-1 ）．

Answer 1

（1）任取x 1 、x 2 ∈[-1，1]，且x 1 ＜x 2 ，则-x 2 ∈[-1，1]．又f（x）是奇函数，于是 f（x 1 ）-f（x 2 ）=f（x 1 ）+f（-x 2 ） = f( x 1 )+f(- x 2 ) x 1 +(- x 2 ) ?（x 1 -x 2 ）． 据已知 f( x 1 )+f(- x 2 ) x 1 +(- x 2 ) ＞0，x 1 -x 2 ＜0， ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＜0，即f（x 1 ）＜f（x 2 ）． ∴f（x）在[-1，1]上是增函数． （2）由f（x）在[-1，1]上是增函数知： -1≤x+1≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1 x+1＜ 1 x-1 ，解得 -2≤x＜- 2 ， 故不等式的解集为{x|-2≤x＜- 2 }．