Question

已知数列 满足： 且 .（1）求数列 的通项公式；

已知数列 满足： 且 .（1）求数列 的通项公式；（2）令 ，数列 的前项和为 ，求证: 时， 且

Answer 1

已知数列 满足： 且 . （1）求数列 的通项公式； （2）令 ，数列 的前项和为 ，求证: 时， 且

（1） ；（2）详见解析.

试题分析：（1）由 令 ，然后用迭加法求出数列 的通项公式，最后求数列 的通项公式； （2）由（1）知 ，写出 及 并化简，利用函数的思想解决与数列有关的不等式问题. 解:（1）易知: , 令 得, 若 ,则 当 时, 也满足上式,故 所以     6分 （2）易知：       8分 先证不等式 时, 令 ,则 ∴ 在 上单调递减,即 同理:令 ,则 ∴ 在 上单调递增,即 ,得证. 取 ,得 ,所以                 14分