Question

（2001?上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=

（2001?上海）已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，AD=5，AB=DC=2．（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A，求AP的长；（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q．①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；②当CE=1时，写出AP的长．（不必写解答过程）

Answer 1

（1）∵ABCD是梯形，AD∥BC，AB=DC．
∴∠A=∠D
∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A
∴∠ABP=∠DPC，
∴△ABP∽△DPC
∴

AP

CD

＝

AB

PD

，即：

AP

2

＝

2

5?AP

解得：AP=1或AP=4．

（2）①由（1）可知：△ABP∽△DPQ
∴

AP

DQ

＝

AB

PD

，即：

x

2+y

＝

2

5?x

，
∴y＝?

1

2

x2+

5

2

x?2（1＜x＜4）．  
②当CE=1时，
∵△PDQ∽△ECQ，
∴

CE

PD

＝

CQ

DQ

，

1

5?x

＝

y

y+2

或

1

5+x

＝

y

y?2

，
∵y＝?

1

2

x2+

5

2

x?2，
解得：AP=2或3?

5

（舍去）．