Question

（2011?茂名）如图，在等腰△ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1=∠2．（1

（2011?茂名）如图，在等腰△ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1=∠2．（1）求证：OD=OE；（2）求证：四边形ABED是等腰梯形；（3）若AB=3DE，△DCE的面积为2，求四边形ABED的面积．

Answer 1

（1）证明：如图，∵△ABC是等腰三角形，
∴AC=BC，
∴∠BAD=∠ABE，
又∵AB=BA、∠2=∠1，
∴△ABD≌△BAE（ASA），
∴BD=AE，
又∵∠1=∠2，
∴OA=OB，
∴BD-OB=AE-OA，
即：OD=OE；

（2）证明：由①得OD=OE，
∴∠DOE=∠BOA，

DO

BO

=

EO

AO

，
∴△DOE∽△BOA，
∴∠EDO=∠ABO，
∴DE∥AB，
又∵∠DAB=∠EBA，
∴四边形ABEO为等腰梯形；

（3）解：由（2）可知：DE∥AB，
∴∠CED=∠CBA，∠CDE=∠CAB，
∴△DCE∽△ACB（AA），
∴

S△DCE

S△ACB

=（

DE

AB

）²，
即

2

S△ACB

=（

DE

3DE

）²=

1

9

．
∴S_△ACB=18，
∴S_{四边形ABED}=S_△ACB-S_△DCE=18-2=16．