Question

一个自然数a，若将其数码重新排列可得到一个新的自然数b，如果a恰是b的三倍，我们称a是一个希望数．（1）

一个自然数a，若将其数码重新排列可得到一个新的自然数b，如果a恰是b的三倍，我们称a是一个希望数．（1）举例说明希望数一定存在；（2）请说明，如果a、b都是希望数，则ab一定是729倍数．

Answer 1

（1）因为428571=3×142857，
所以428571是一个“希望数”．
（2）因为a为“希望数”，依“希望数”定义知，存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p，使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和．
因为a=3p和a为3的倍数，但a的数字和等于P的数字和，
所以由整除判别法，知p为3的倍数，
所以p=3m，（m为正整数），
所以a=3×p=3×3m=9m，
所以a被9整除．
因为a的数字和等于p的数字和，
所以由被9整除的判别法可知p能被9整除，即p=9k（k为整数），
所以p=3a=3×9k=27k
所以a是27的倍数．
所以“希望数”一定能被27整除．
因为a，b都是“希望数”，
所以a，b都是27的倍数，即a=27n₁，b=27n₂（n₁，n₂为正整数）．
所以ab=（27n₁）（27n₂）
=（27×27）（n₁×n₂）
=729n₁n₂．
所以ab一定是729的倍数．