Question

如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角α（0°＜α＜45°），得到正方形OA1B1C1．设边B1

如图，将边长为a的正方形OABC绕顶点O按顺时针方向旋转角α（0°＜α＜45°），得到正方形OA1B1C1．设边B1C1与OC的延长线交于点M，边B1A1与OB交于点N，边B1A1与OA的延长线交于点E，连接MN．（1）求证：△OC1M≌△OA1E；（2）试说明：△OMN的边MN上的高为定值；（3）△MNB1的周长p是否发生变化？若发生变化，试说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．

Answer 1

（1）证明：∵正方形OABC，
∴∠A₁OE+∠A₁OM=∠C₁OM+∠A₁OM=90°，
∴∠A₁OE=∠C₁OM，
在△OC₁M和△OA₁E中，

∠OA1E＝∠C1 OA1＝OC1 ∠A1OE＝∠C1OM

，
∴△OC₁M≌△OA₁E（ASA）；

（2）解：∵△OC₁M≌△OA₁E（已证），
∴OE=OM，
在△EON和△MON中，

OE＝OM ∠EON＝∠MON＝45° ON＝ON

，
∴△EON≌△MON（SAS），
∴EN=MN，
∴△OMN的边MN上的高等于△OEN边EN上的高，即OA₁的长a，为定值；

（3）p不会发生变化，是定值2a．
理由如下：根据（1）（2），△OC₁M≌△OA₁E，△EON≌△MON，
∴MN=EN，A₁E=C₁M，
∴△MNB₁的周长p=MN+NB₁+MB₁，
=EN+NB₁+MB₁，
=EB₁+MB₁，
=A₁E+A₁B₁+MB₁，
=C₁M+A₁B₁+MB₁，
=A₁B₁+B₁C₁，
∵正方形OABC的边长为a，
∴A₁B₁=B₁C₁=a，
∴p=2a，是定值．

Answer 2

（1）证明：四边形OA1B1C1是正方形,所以∠OC1M=∠OA1E=90
且OC1=OA1
∠MOC1和∠EOA1都是旋转角,为α.所以∠MOC1=∠EOA1
因此△OC1M≌△OA1E
（2）由（1）中两三角形全等可得,OM=OE
因为OABC为正方形,N为对角线OC上,所以∠MON=∠EON=45
在△ONM和△ONE中
OM=OE,∠MON=∠EON,ON=ON
所以△MON≌△EON
因此从O作MN垂线段,其长度必定等于从O作EN垂线段OA1的长度
因为OA1为正方形边长,因此为定值a
（3）由（2）中两三角形全等可得MN=EN
△MNB1周长为MN+B1N+B1M=EN+B1N+B1M
EN+B1N=B1E=B1A1+A1E
因为（1）中两三角形全等,所以A1E=C1M=B1C1-B1M
因此三角形周长相当于B1A1+B1C1-B1M+B1M=2B1A1
所以周长为正方形两边和,为2a