Question

设各项均为正数的等比数列{an}中，a1+a3=10，a3+a5=40．设bn=log2an．（1）求数列{bn}的通项公式；

设各项均为正数的等比数列{an}中，a1+a3=10，a3+a5=40．设bn=log2an．（1）求数列{bn}的通项公式； （2）若c1=1，cn+1＝cn+bnan，求证：cn＜3．

Answer 1

解答：（1）解：设数列{a_n}的公比为q（q＞0），
由a₁+a₃=10，a₃+a₅=40，则

a1+a1q2＝10    ① a1q2+a1q4＝40②

，
∵a₁≠0，②÷①得：q²=±2，又q＞0，∴q=2．
把q=2代入①得，a₁=2．
∴a_n=a1qn?1＝2×2n?1=2ⁿ，则b_n=log2an＝log22n=n；
（2）证明：∵c₁=1＜3，c_n+1-c_n=

bn

an

=

n

2n

，
当n≥2时，c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁=1+

1

2

+

2

22

+…+

n?1

2n?1

③，
∴

1

2

c_n=

1

2

+

1

22

+

2

23

+…+

n?1

2n

④，
③-④得：

1

2

cn＝1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n?1

?

n?1

2n

=1+

1 4 (1? 1 2n?2 )

1? 1 2

?

n?1

2n

=1+

1

2

?

1

2n?1

?

n?1

2n

．
∴cn＝3?

1

2n?2

?

n?1

2n?1

＜3（n≥2）．
故c_n＜3（n∈N^*）．