Question

（2014?江西二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点F与抛物线y2=-4x的焦点重合，直线x-y+22=0

（2014?江西二模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左焦点F与抛物线y2=-4x的焦点重合，直线x-y+22=0与以原点O为圆心，以椭圆的离心率e为半径的圆相切．（1）求该椭圆C的方程；（2）过点F的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点．记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．

Answer 1

（1）依题意，得c=1，e＝

|0?0+ 2 2 |

2

＝

1

2

，
即

c

a

＝

1

2

，∴a=2，∴b=1，
∴所求椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

＝1．（5分）
（2）假设存在直线AB，使得S₁=S₂，由题意知直线AB不能与x，y垂直，
∴直线AB的斜率存在，设其方程为y=k（x+1），
将其代入

x2

4

+

y2

3

＝1，整整，得：
（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2＝

?8k2

4k2+3

，y1+y2＝

6k

4k2+3

，
∴G（

?4k2

4k2+3

，

3k

4k2+3

），∵DG⊥AB，
∴

3k 4k2+3

?4k2 4k2+3

×k＝?1，
解得xD＝

?k2

4k2+3

，即D（

?k2

4k2+3

，0），
∵△GFD∽△OED，∴

|GF|

|OE|

＝

|DG|

|OD|

，∴

|GF|

|OE|

?

|DG|

|OD|

＝(

|DG|

|OD|

)2，
即

S1

S2

=(

|DG|

|OD|

)2，
又∵S₁=S₂，∴|GD|=|OD|，（11分）
∴

( ?k2 4k2+3 ? ?4k2 4k2+3 )2+( 3k 4k2+3 )2

=|

?k2

4k2+3

|，
整理得8k²+9=0，∵此方程无解，
∴不存在直线AB，使得S₁=S₂．（13分）