Question

如图所示，在△ABC中，求证：（1）若AD为∠BAC的平分线，则S△ABD：S△ACD=AB：AC；（2）设D为BC上的一点

如图所示，在△ABC中，求证：（1）若AD为∠BAC的平分线，则S△ABD：S△ACD=AB：AC；（2）设D为BC上的一点，连接AD，若S△ABD：S△ACD=AB：AC，则AD为∠BAC的平分线．

Answer 1

（1）证明：过A作AH⊥BC于H，过C作CE∥AB交AD延长线于E，
则∠E=∠BAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴∠E=∠CAD，
∴AC=CE，
∵CE∥AB，
∴△ECD∽△ABD，
∴

BD

CD

=

AB

CE

，
∴

BD

CD

=

AB

AC

，
∴S_△ABD：S_△ACD=（

1

2

×BD×AH）：（

1

2

×CD×AH）=BD：CD=AB：AC；

（2）证明：过A作AH⊥BC于H，过C作CE∥AB交AD延长线于E
∵S_△ABD：S_△ACD=（

1

2

×BD×AH）：（

1

2

×CD×AH）=BD：CD=AB：AC，
又∵CE∥AB，
∴△ECD∽△ABD，
∴

BD

CD

=

AB

CE

，
∴

AB

CE

=

AB

AC

，
∴CE=AC，
∴∠E=∠CAD，
∵CE∥AB，
∴∠E=∠BAD，
∴∠BAD=∠CAD，
∴AD平分∠BAC．