Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为 .(1)求椭圆C的方程

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为 .(1)求椭圆C的方程；(2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为 .若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.如果 ＝t ，求实数t的值．

Answer 1

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为 . (1)求椭圆C的方程； (2)设A，B是椭圆C上的两点，△AOB的面积为 .若A、B两点关于x轴对称，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C于点P.如果 ＝t ，求实数t的值．

（1） ＋y 2 ＝1 （2）t＝2或t＝

(1)设椭圆C的方程为： (a＞b＞0)， 则 ，解得a＝ ，b＝1， 故椭圆C的方程为 ＋y 2 ＝1. (2)由于A、B两点关于x轴对称，可设直线AB的方程为x＝m(－ ＜x＜ ，且m≠0)． 将x＝m代入椭圆方程得|y|＝ ， 所以S △ AOB ＝|m| ＝ . 解得m 2 ＝ 或m 2 ＝ .① 又 ＝t ＝ t( ＋ )＝ t(2m,0)＝(mt,0)， 又点P在椭圆上，所以 ＝1.② 由①②得t 2 ＝4或t 2 ＝ . 又因为t＞0，所以t＝2或t＝ .