Question

（2014?温州一模）如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段

（2014?温州一模）如图，矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE．若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻转过程中，正确的命题是______．①|BM|是定值；②点M在圆上运动；③一定存在某个位置，使DE⊥A1C；④一定存在某个位置，使MB∥平面A1DE．

Answer 1

①由矩形ABCD中，AB=2BC=4，E为边AB的中点，可得ED²=2²+2²=8=CE²，CD²=4²=16，
∴CE²+ED²=CD²，∴∠CED=90°，∴CE⊥ED．
又∵平面A₁DE⊥平面BCD，∴CE⊥平面A₁DE，
∴∠A₁ED为A₁-EC-D的二面角的平面角，且为45°．
取CE的中点O，连接BO、MO，
由三角形的中位线定理可知：MO∥AE，MO=

1

2

AE=1，
∴MO⊥CE；
在等腰Rt△EBC中，CO=OE=

2

，则BO⊥CE，
∴∠MOB为二面角M-EC-B的平面角；
由图形可知：二面角A₁-EC-D与二面角M-EC-B互补，因此二面角M-EC-B的平面角为135°．
又OB=

2

，在△MOB中，由余弦定理可得MB²=1+2?2?1?

2

?cos135°=5．
∴MB=

5

，
故①②正确，
若DE⊥A₁C，CE⊥ED，A₁C∩CE=C，则DE⊥平面A₁CE，∴DE⊥A₁E，与DA₁⊥A₁E矛盾，∴③不正确；
取CD中点F，连接MF，BF，则MF∥DA₁，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A₁DE，
∴MB∥平面A₁DE，故④正确；
故答案为：①②④．