Question

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期为π，且对一切x∈R，都有f（x）≤f(π12)＝4

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的周期为π，且对一切x∈R，都有f（x）≤f(π12)＝4；（1）求函数f（x）的表达式；（2）若g（x）=f（π6?x），求函数g（x）的单调增区间；（3）若函数y=f（x）-3的图象按向量c=（m，n） （|m|＜π2）平移后得到一个奇函数的图象，求实数m、n的值．

Answer 1

（1）∵f(x)＝asinωx+bcosωx＝

a2+b2

sin(ωx+φ)，又周期T＝

2π

ω

＝π∴ω=2
∵对一切x∈R，都有f（x）≤f(

π

12

)＝4
∴

a2+b2 ＝4 asin π 6 +bcos π 6 ＝4

解得：

a＝2 b＝2 3

∴f（x）的解析式为f(x)＝2sin2x+2

3

cos2x＝4sin(2x+

π

3

)
（2）∵g(x)＝f(

π

6

?x)＝4sin[2(

π

6

?x)+

π

3

]＝4sin(?2x+

2π

3

)＝?4sin(2x?

2π

3

)（3）
∴g（x）的增区间是函数y=sin(2x?

2π

3

)的减区间
∴由2kπ+

π

2

≤2x?

2π

3

≤2kπ+

3π

2

得g（x）的增区间为[kπ+

7π

12

，kπ+

13π

12

]（k∈Z）（等价于[kπ?

5π

12

，kπ+

π

12

]．
（3）m＝

π

6

，n＝3