Question

在△ABC中 角A，B，C所对应的边分别为a，b，c 且cos(A-B)+cosC=√3sinA

(1)求角B
(2)若a+c=6，B∈(0，π/2]，求AC边上中线长的最小值

Answer 1

cos(A-B)-cos(A+B)=√3sinA

cosAcosB+sinAsinB-cosAcosB+sinAsinB=√3sinA

sinB=√3/2

B=π/3或2π/3

(2)a+c=6，B=π/3

b^2=a^2+c^2-2accosB=(a+c)^2-3ac=36-3ac

由中线长公式得中线

BD=

ac≤(a+c)^2/4=9

所以BD的最小值为3√3/2

Answer 2

cos(A-B)+cosC=√3sinA
cos(A-B)-cos(A+B)=√3sinA
cosAcosB+sinAsinB-cosAcosB+sinAsinB=√3sinA
2sinAsinB=√3sinA
2sinB=√3
sinB=√3/2
B=π/3或B=2π/3
2)若a+c=6，B∈(0，π/2]，

B=π/3
延长BD,使BD＝DE连接AE
易得三角形ADE和三角形BCD全等
所以，AE=DE,AE//BC
角BAE=120
在三角形ABE中
BE=2BD
BE^2=4BD^2=AE^2+AB^2+AE*AB=a^2+c^2+ac=(a+c)^2-ac
ac=(a+c)^2－4BD^2
因a+c>=2√ac
ac<=1/4(a+c)^2
(a+c)^2－4BD^2<=1/4(a+c)^2
4BD^2>=3/4(a+c)^2=3/4*36=27
BD>=3√3/2
所以，AC边上中线长的最i小值3√3/2