Question

高等数学，递归数列求极限。求助大神详细证明。

Answer 1

证明此数列单调递增且有上界

数学归纳法：

1. 易知y1 = a/2 < 1- 根号（1-a）

2. 当 yn < 1- 根号（1-a）时，

   yn+1 = a/2 + yn^2; / 2 < a/2 + [1- 根号（1-a）]^2; / 2 =1- 根号（1-a）

所以，总有yn <1- 根号（1-a）

下面证明单调递增：

yn+1  -  yn  =  a/2 + yn^2 / 2   -  yn  = [(yn  -  1)^2 + a-1] /2 >  [(1- 根号（1-a）  -  1)^2  + a-1] /2 = 0

即 yn+1  > yn 

求极限：

设极限为 A

对递推公式yn+1 = a/2 + yn^2/ 2 两边n取无穷大

得 A = a/2 + A^2/2

解得 A =1- 根号（1-a）

Answer 2

证明此数列单调递增且有上界即可。