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应用题
一、储蓄问题
基本数量关系：利息=本金× 利率× 时间 纯利息=利息×（1－20％）
本利和（本息）=本金 + 利息
例1. 小明爸爸前年存了年利率为2.43%的二年期定期储蓄．今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买了一只价值48.60元的计算器．问小明爸爸前年存了多少元？
解：设小明爸爸前年存了x元,由题意得：
例2.小丽有银行定期存款2500元，按年利率1.98%计算，存款到期本利合计2648.5元，这项存款共存了几年？如果扣去20%的利息税，那么小丽到期本利和多少元？
解：设这项存款共存了x年，由题意得：
若扣去税，本利和为：
例3.某人将a元以教育储蓄一年定期的形式存入银行，年利率为b；一年后取出，将本利和再以教育储蓄一年定期的形式存入银行，年利率还是b，则到期后的本利和为
此类问题，先用已知量和未知量表示利息、本金、利率等基本量，然后直接用基本数量关系列式。
针对性训练：
1.李勇家以两种形式共储蓄了3000元,一年后全部取出可得利息43.92元.已知两种储蓄利率为2.25%和0.99%,问他家两种储蓄各多少元?(考虑利息税为20%)
2.小王以两种形式分别储蓄了2000元和1000元,一年后全部取出,扣除利息所得税后可得得息43.92元,已知两种储蓄的年利率的和为3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几? (公民应交利息所得税=利息金额×20%)
3.国家规定个人发表文章,出版图书获得稿费的原纳税计算方法是:(1)稿费不高于800元的不纳税;(2)稿费高于800元又不高于4000元的应交缴纳超过800元部分的那一部分稿费的14%的税;(3)稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税.今知丁老师获得一笔稿费,并缴纳个人所得税收420元,问丁老师的这笔稿费有多少元?
二、行程问题
基本数量关系： 速度×时间=路程
河水中行船的问题：V顺= V船+ V水 V逆= V船－V水
（V顺—船顺水行进的速度 V逆—船逆水行进的速度 V船—船在静水中的速度 V水—水流速度 ）
基本分析解题方法：画线段图
例4. 小张和父亲预定搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷．在行驶了一半路程时，小张向司机询问行车时间，司机估计继续乘公共汽车到火车站时火车将正好开出．根据司机的建议小张和父亲随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达火车站．已知公共汽车的平均速度是30千米／时，问小张家到火车站有多远？
分析(图)：
解法一：设小张家到火车站路程为x千米，由题意得：
（根据前后时间相等直接设求知数）
解法二：设小张乘公共汽车用去x小时，由题意得：
小张家到火车的路程为：
（根据前后路程相等间接设未知数）
针对性训练:
1.小华一家预定从家搭乘出租车赶往火车站,如果出租车以每小时50千米的速度行驶,就会迟到了24分钟;如果出租车以每小时75千米的高速行驶,可提前24分钟到达火车站,求小华家到火车站的路程.
2.某队成员要从A地到相距18千米的B地去,只有一辆汽车,所以把全体成员分成甲乙两组,先让甲组乘车,乙组步行,同时出发,开到途中的C地,甲组人员下车步行,汽车回去接乙组,把乙组送到B地时,甲组也恰好同时到达B地,若车速每小时60千米,步行每小时4千米,求AC两地间距离及两组人员各步行多少千米?
例5. 为庆祝校运会开幕,初一(2)班学生接受了制作小旗的任务.原计划一半同学参加制作,每天制作40面.完成了三分之一以后,全班同学一起参加,结果比原计划提前一天半完成任务,假设每人的制作效率相同,问共制作小旗多少面?
解：设共制作小旗x面，由题意得：
（等量关系：计划用的时间=实际用的时间±时间差<若实际用的时间少，则加上时间差；若实际用的时间多，则减去时间差>）
针对性训练:
1.某校组织师生春游,如果单独租用45座客车若干辆,刚好坐满;如果单独租用60座客车,可少租1辆,且余30个空座位.求该校参加春游的人数.
2.某工人按原计划每天生产20个零件,到预定期还有100个零件不能完成,若提高工效25%,到期将超额完成50个,问此工人原计划生产零件多少个?
例6.一艘汽艇顺水行驶36千米和逆水行驶24千米的时间都是3小时，求汽艇在静水中的速度和水流速度。
解：设汽艇在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，由题意得：
（等量关系：顺水速度×顺水时间=顺水路程 逆水速度×逆水时间=逆水路程）
针对性训练:
某汽车在一段坡路上往返行驶,上坡的速度为10千米/时,下坡的速度为20千米/时,求汽车的平均速度.
例7.甲乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙的速度是6米/秒，甲的速度是乙的速度的 倍。若甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
分析（图）：
环形跑道，同向而行，可看成是追及问题，第一次相遇即第一次追上，追及的距离即为一圈400米，本题甲的速度快，显然是甲追乙。由于甲在乙前面8米处同时同向出发，因此本题的追及距离实际是（400－8）米。
解：设经过x秒两人首次相遇,由题意得：
针对性训练:
1.在高速公路上,一辆长4米,速度为110千米/时的轿车准备超过一辆长12米,速度为100千米/时的卡车,问轿车从开始追上至超越卡车,需要花费多少秒的时间?
2.已知一座铁路桥长1000米,现有一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到完全通过桥共用1分钟;而整列火车在桥上所用时间为40秒,求火车速度及车长.
3.一条环城公路长18千米,甲沿公路骑自行车,每分钟行550米;乙沿公路跑步,每分钟跑250米,两人同时从同一地点向同一方向出发,经过多少小时两人又相遇? 4.甲乙两人在周长为400米的环形跑道上练习跑步,如果同时相向出发,每隔2.5分钟相遇一次;如果同时同向出发,每隔10分钟相遇一次,假定两人速度不变,且甲快乙慢,求甲乙两人的速度.
三.工程问题
基本数量关系：工作效率×工作时间=工作量
例8. 师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成要10小时，徒弟单独完成要15小时．
①若两人合作，需多少小时完成？
②若徒弟先做5小时，然后师傅再和他一起做，还要几小时才能完工？
③若两人先合做5小时，再由徒弟一个人独做，还需要几小时能完工？
解：①设需x小时完成，得：
②还要合做y小时才能完工，得：
③徒弟还要独做z小时才能完工，得：
此类工程问题，工作总量没有具体数量，可将总量视作为单位1，分析出各人各自的工作效率和工作时间，由 A的工作量+B的工作量=1 列出方程
针对性训练:
1.开管注水入缸,5分钟可注满,注满以后拨出底塞,那么缸里的水10分钟可流尽.有一次开管注水入空缸,过了若干分钟发现未把底塞塞上,赶快塞上底塞又过了这么多时间才注满,问一共注了多少时间才把水缸注满?
2.两枝同样长的蜡烛,一枝能燃烧6小时,另一枝能燃烧4小时,同时点燃两枝蜡烛,几小时后一枝蜡烛的长是另一枝蜡烛长的2倍?
四.分配和配套问题
此类问题没有什么基本的数量关系式，关键是要看不同的量之间是怎么分配和怎样配套的。
例9.一批学生去公园划船，如果每只船上5人，那么还有2人不能上船；如果每只船上6人，那么还有3个空位。求这批学生的人数和所租用的船只数。
解：设有学生x人，租用了y只船，得：
本题容易将2和3的符号弄错，最简单的检查方法就是将方程解出来，如果符号调错的话，将解出负数，不合实际。
针对性训练:
1.现有甲乙两项工程,甲工程的工作量是乙工程的工作量的2倍,第一组有19人,第二组有14人(假设人均工作效率相同),怎样调配两组的人数,才能使两项工程同时开工又同时完工呢?
2.在甲处劳动的有27人,在乙处劳动的有19人,现在另调20人去支援,使在甲处的人数为在乙处人数的2倍,问应调往甲乙两处各多少人?
例10.某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个。甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，要在30天内生产最多的成套产品，问：怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？
分析：甲乙两种零件的比值为3 ：2
解：设安排生产甲种零件x天，乙种零件y天，得：
（其中第二个方程化简可得： ）
例11.用白卡纸做包装盒，每张卡纸可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身于两个盒底配成一套，现有100张卡纸，应用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成证书套包装盒？
解：设应用x张制盒身，y张制盒底,由题意得： ，
解得x= ，y= ； 若一张卡纸不能同时制作盒身与盒底，则：x= ，y= ；
（此题列式分析同上题一样，但结果须考虑两种可能。）
针对性训练:
1.一个车间加工轴杆和轴承,每人每天平均可以加工轴杆12根,或者轴承16个,1根轴杆与2个轴承为一套,车间共有90人,应怎样调配人力,才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套?
2.一张方桌由一个桌面4条桌腿组成.如果1立方米木料可以做桌面50个或桌300条,现有5立方米木料,那么用多少立方米木料做桌面,多少立方米木料做桌腿,恰好能配成整套?并计算出能配成多少套?
五.求年龄的问题
这类问题中一般会牵涉到2个人在不同时间的年龄，可依据：①两人的年龄差始终不变;②两人成长的岁数相等；可依据这两个等量关系中的一个列出方程。
时间 甲 乙
以前
现在
将来
例12.甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁”，乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”，问：甲、乙现在各几岁？ 解：设甲现在x岁，乙现在y岁，由题意得：
（根据两人的年龄差始终不变列出等式）
时间 哥哥 弟弟
今年
曾经
例13.今年，兄弟两人的岁数加起来是55岁；曾经有一年，哥哥的岁数是今年弟弟的岁数，那时哥哥的岁数恰好是弟弟的两倍，问：哥哥和弟弟今年多大？ 解：设哥哥今年x岁，弟弟今年y岁,由题意得：
（等量关系：哥哥的年龄+弟弟的年龄=总年龄
哥哥今年的年龄- 弟弟今年的年龄=哥哥曾经的年龄- 弟弟曾经的年龄）
针对性训练:
今年,小李的年龄是他爷爷的1/5.小李发现,12年之后,他的年龄变成爷爷的1/3.试求今年小他的年龄.
六、数字问题
一个多位数：abc=a×100+ b×10+ c（如547=5×100+4×10+7）
abc=a×100+ bc （如547=5×100+47）
例14.一次小红把一个题目的答案的十位与个位数字写倒了，结果比正确答案小27，而正确答案的十位数字是个位数字的2倍，求正确答案。
解：设正确答案中十位上数字为x,个位上数字为y，由题意得：
例15.一个三位数，百位上的数字与其后的两位数之和为58，若把百位上的数字已到这个数的最后，所得的新三位数比原数大306，求原来的三位数。
解：设原数百位上数字为x，后两位的数字为两位数y，由题意得：
此类题一是要设的准确，究竟是设原数还是新数；二是要熟悉多位数的表示。
针对性训练:
1.一个三位数,百位上的数比十位上的数大2,个位上的数是十位上的数的2倍,将个位上的数与百位上的数对调得到一个新的三位数,新的三位数比原来的三位数小99,求原来这个三位数.
2.一个三位数的个位数字是7,若把个位数字移到首位,则新数比原数的5倍还多86,求这个三位数.
七、等积问题
这里，等积指的是面积或体积相等。 其基本数量关系式是：形变前的体积=形变后的体积
例16.某工厂锻造直径为80mm，高30mm的圆柱形毛坯，需要截取直径为4cm的圆钢多少长？
解：设需要截取直径为4cm的圆钢x mm,由题意得： (V柱体=πr2×h)
本题解题时有两处容易出错：一是要注意单位的统一；二是不要把直径当半径来做。
例17.在一个底面直径为5cm，高为18cm的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径为6cm，高10cm的圆柱形玻璃杯内，能否完全装下？若装不下，瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面距杯口的距离。
解：①圆柱形瓶的体积为：
圆柱形玻璃杯的体积为：
两者体积比较：
②设瓶内水面还有x cm高，得：
针对性训练:
1.一只直径为90毫米的圆柱体玻璃杯中装满了水,把杯中的水放入一个底面积为(131×131)毫米2,高为81毫米的长方体的铁盒中,当铁盒装满水时,玻璃杯中水的高度大约下降了多少毫米?(精确到0.1毫米)
2.现有一张长40cm、宽30cm的长方形铁皮,用它制作一个圆柱形铁桶侧面,另有足够大的铁皮做桶底,问怎样制作能使铁桶的容积最大?
八、利润问题
基本数量关系：利润=售价－进价 ；售价=定价×折扣 ；利润率=
例18、某商品因换季打折出售，若按定价的75％出售，要赔25元；若按定价的90％出售，则赚20元，问商品定价。
解：设商品定价x元，由题意得：
（利用本金不变列式）
例19.某种商品按成本增加25％定价出售，后因库存积压需降价处理，如果每件商品仍想获得10％的利润，问降价时应按原定价的几折出售？
解：设成本为a 元，降价时应按原定价的x份出售,由题意得： 本题未知量很多，但我们知道：定价=(1＋25％)成本，可先将成本设为a 元，则定价=(1＋25)％a 元，实际售价=（1+25％）ax,由基本数量关系式可列方程：
(此时方程两边可同时除以a，将a约去)
针对性训练:
1.一商店把某种羊毛衫按标价的八折出售,仍可获利20%,若该品牌的羊毛衫的进价每件是100元,则每件标价是多少元?
2.某商品的进价是400元,标价是550元,按标价的八折出售时,该商品的利润率是多少?
3.某商品的售价为每件900元,为了参与市场竞争,商店按售价9折再让利40元销售,此时仍可获利10%,则商品的进价是多少元?
4.某商贩以每千克3元的进价购进苹果若干筐,然后以每千克4元的价格售出,当售出全部苹果的一半零10筐时,就收回了成本,他一共购进了多少筐苹果?
5.甲、乙两种服装的成本共500元,商店老板为获取利润,决定将甲服装按50%的利润定价,乙服装按40%的利润定价.在实际出售时,应顾客要求,两件服装均定9折出售,这样商店共获利157元.求甲乙两种服装的成本各是多少元?
解方程
3X+189=521
4Y+119=22
3X*189=5
8Z/6=458
3X+77=59
4Y-6985=81
87X*13=5
7Z/93=41
15X+863-65X=54
58Y*55=27489
z*(z-3)=4
方程x2＝ 的根为 。
2、 方程（x+1）2－2（x－1）2=6x－5的一般形式是 。
3、 关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根是1，则m的值为 。
4、 已知二次三项式x2+2mx+4－m2是一个完全平方式，则m= 。
5、 已知 +（b－1）2=0，当k为 时，方程kx2+ax+b=0有两个不等的实数根。
6、 关于x的方程mx2－2x+1=0只有一个实数根，则m= 。
7、 请写出一个根为1，另一个根满足－1<x<1的一元二次方程是 。
8、 关于x的方程x2－（2m2+m－6）x－m=0两根互为相反数，则m= 。
9、 已知一元二次方程（a－1）x2+x+a2－1=0的两根为x1,x2，且x1+x2= ，则x1,x2= 。
10某木材场原有木材存量为a立方米，已知木材每年以20%的增长率生长，到每年冬天砍伐的木材量为x立方米，则经过一年后木材存量为 立方米，经过两年后，木材场木材存量为b立方米，试写出a,b,m之间的关系式：
应用题
一、储蓄问题
基本数量关系：利息=本金× 利率× 时间 纯利息=利息×（1－20％）
本利和（本息）=本金 + 利息
例1. 小明爸爸前年存了年利率为2.43%的二年期定期储蓄．今年到期后，扣除利息税，所得利息正好为小明买了一只价值48.60元的计算器．问小明爸爸前年存了多少元？
解：设小明爸爸前年存了x元,由题意得：
例2.小丽有银行定期存款2500元，按年利率1.98%计算，存款到期本利合计2648.5元，这项存款共存了几年？如果扣去20%的利息税，那么小丽到期本利和多少元？
解：设这项存款共存了x年，由题意得：
若扣去税，本利和为：
例3.某人将a元以教育储蓄一年定期的形式存入银行，年利率为b；一年后取出，将本利和再以教育储蓄一年定期的形式存入银行，年利率还是b，则到期后的本利和为
此类问题，先用已知量和未知量表示利息、本金、利率等基本量，然后直接用基本数量关系列式。
针对性训练：
1.李勇家以两种形式共储蓄了3000元,一年后全部取出可得利息43.92元.已知两种储蓄利率为2.25%和0.99%,问他家两种储蓄各多少元?(考虑利息税为20%)
2.小王以两种形式分别储蓄了2000元和1000元,一年后全部取出,扣除利息所得税后可得得息43.92元,已知两种储蓄的年利率的和为3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几? (公民应交利息所得税=利息金额×20%)
3.国家规定个人发表文章,出版图书获得稿费的原纳税计算方法是:(1)稿费不高于800元的不纳税;(2)稿费高于800元又不高于4000元的应交缴纳超过800元部分的那一部分稿费的14%的税;(3)稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税.今知丁老师获得一笔稿费,并缴纳个人所得税收420元,问丁老师的这笔稿费有多少元?
二、行程问题
基本数量关系： 速度×时间=路程
河水中行船的问题：V顺= V船+ V水 V逆= V船－V水
（V顺—船顺水行进的速度 V逆—船逆水行进的速度 V船—船在静水中的速度 V水—水流速度 ）
基本分析解题方法：画线段图
例4. 小张和父亲预定搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷．在行驶了一半路程时，小张向司机询问行车时间，司机估计继续乘公共汽车到火车站时火车将正好开出．根据司机的建议小张和父亲随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达火车站．已知公共汽车的平均速度是30千米／时，问小张家到火车站有多远？
分析(图)：
解法一：设小张家到火车站路程为x千米，由题意得：
（根据前后时间相等直接设求知数）
解法二：设小张乘公共汽车用去x小时，由题意得：
小张家到火车的路程为：
（根据前后路程相等间接设未知数）
针对性训练:
1.小华一家预定从家搭乘出租车赶往火车站,如果出租车以每小时50千米的速度行驶,就会迟到了24分钟;如果出租车以每小时75千米的高速行驶,可提前24分钟到达火车站,求小华家到火车站的路程.
2.某队成员要从A地到相距18千米的B地去,只有一辆汽车,所以把全体成员分成甲乙两组,先让甲组乘车,乙组步行,同时出发,开到途中的C地,甲组人员下车步行,汽车回去接乙组,把乙组送到B地时,甲组也恰好同时到达B地,若车速每小时60千米,步行每小时4千米,求AC两地间距离及两组人员各步行多少千米?
例5. 为庆祝校运会开幕,初一(2)班学生接受了制作小旗的任务.原计划一半同学参加制作,每天制作40面.完成了三分之一以后,全班同学一起参加,结果比原计划提前一天半完成任务,假设每人的制作效率相同,问共制作小旗多少面?
解：设共制作小旗x面，由题意得：
（等量关系：计划用的时间=实际用的时间±时间差<若实际用的时间少，则加上时间差；若实际用的时间多，则减去时间差>）
针对性训练:
1.某校组织师生春游,如果单独租用45座客车若干辆,刚好坐满;如果单独租用60座客车,可少租1辆,且余30个空座位.求该校参加春游的人数.
2.某工人按原计划每天生产20个零件,到预定期还有100个零件不能完成,若提高工效25%,到期将超额完成50个,问此工人原计划生产零件多少个?
例6.一艘汽艇顺水行驶36千米和逆水行驶24千米的时间都是3小时，求汽艇在静水中的速度和水流速度。
解：设汽艇在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，由题意得：
（等量关系：顺水速度×顺水时间=顺水路程 逆水速度×逆水时间=逆水路程）
针对性训练:
某汽车在一段坡路上往返行驶,上坡的速度为10千米/时,下坡的速度为20千米/时,求汽车的平均速度.
例7.甲乙两人在环形跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，乙的速度是6米/秒，甲的速度是乙的速度的 倍。若甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
分析（图）：
环形跑道，同向而行，可看成是追及问题，第一次相遇即第一次追上，追及的距离即为一圈400米，本题甲的速度快，显然是甲追乙。由于甲在乙前面8米处同时同向出发，因此本题的追及距离实际是（400－8）米。
解：设经过x秒两人首次相遇,由题意得：
针对性训练:
1.在高速公路上,一辆长4米,速度为110千米/时的轿车准备超过一辆长12米,速度为100千米/时的卡车,问轿车从开始追上至超越卡车,需要花费多少秒的时间?
2.已知一座铁路桥长1000米,现有一列火车从桥上通过,测得火车从开始上桥到完全通过桥共用1分钟;而整列火车在桥上所用时间为40秒,求火车速度及车长.
3.一条环城公路长18千米,甲沿公路骑自行车,每分钟行550米;乙沿公路跑步,每分钟跑250米,两人同时从同一地点向同一方向出发,经过多少小时两人又相遇? 4.甲乙两人在周长为400米的环形跑道上练习跑步,如果同时相向出发,每隔2.5分钟相遇一次;如果同时同向出发,每隔10分钟相遇一次,假定两人速度不变,且甲快乙慢,求甲乙两人的速度.
三.工程问题
基本数量关系：工作效率×工作时间=工作量
例8. 师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成要10小时，徒弟单独完成要15小时．
①若两人合作，需多少小时完成？
②若徒弟先做5小时，然后师傅再和他一起做，还要几小时才能完工？
③若两人先合做5小时，再由徒弟一个人独做，还需要几小时能完工？
解：①设需x小时完成，得：
②还要合做y小时才能完工，得：
③徒弟还要独做z小时才能完工，得：
此类工程问题，工作总量没有具体数量，可将总量视作为单位1，分析出各人各自的工作效率和工作时间，由 A的工作量+B的工作量=1 列出方程
针对性训练:
1.开管注水入缸,5分钟可注满,注满以后拨出底塞,那么缸里的水10分钟可流尽.有一次开管注水入空缸,过了若干分钟发现未把底塞塞上,赶快塞上底塞又过了这么多时间才注满,问一共注了多少时间才把水缸注满?
2.两枝同样长的蜡烛,一枝能燃烧6小时,另一枝能燃烧4小时,同时点燃两枝蜡烛,几小时后一枝蜡烛的长是另一枝蜡烛长的2倍?
四.分配和配套问题
此类问题没有什么基本的数量关系式，关键是要看不同的量之间是怎么分配和怎样配套的。
例9.一批学生去公园划船，如果每只船上5人，那么还有2人不能上船；如果每只船上6人，那么还有3个空位。求这批学生的人数和所租用的船只数。
解：设有学生x人，租用了y只船，得：
本题容易将2和3的符号弄错，最简单的检查方法就是将方程解出来，如果符号调错的话，将解出负数，不合实际。
针对性训练:
1.现有甲乙两项工程,甲工程的工作量是乙工程的工作量的2倍,第一组有19人,第二组有14人(假设人均工作效率相同),怎样调配两组的人数,才能使两项工程同时开工又同时完工呢?
2.在甲处劳动的有27人,在乙处劳动的有19人,现在另调20人去支援,使在甲处的人数为在乙处人数的2倍,问应调往甲乙两处各多少人?
例10.某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个。甲、乙两种零件分别取3个、2个才能配成一套，要在30天内生产最多的成套产品，问：怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？
分析：甲乙两种零件的比值为3 ：2
解：设安排生产甲种零件x天，乙种零件y天，得：
（其中第二个方程化简可得： ）
例11.用白卡纸做包装盒，每张卡纸可制盒身16个或制盒底43个，一个盒身于两个盒底配成一套，现有100张卡纸，应用多少张制盒身，多少张制盒底，可以正好制成证书套包装盒？
解：设应用x张制盒身，y张制盒底,由题意得： ，
解得x= ，y= ； 若一张卡纸不能同时制作盒身与盒底，则：x= ，y= ；
（此题列式分析同上题一样，但结果须考虑两种可能。）
针对性训练:
1.一个车间加工轴杆和轴承,每人每天平均可以加工轴杆12根,或者轴承16个,1根轴杆与2个轴承为一套,车间共有90人,应怎样调配人力,才能使每天生产的轴承和轴杆正好配套?
2.一张方桌由一个桌面4条桌腿组成.如果1立方米木料可以做桌面50个或桌300条,现有5立方米木料,那么用多少立方米木料做桌面,多少立方米木料做桌腿,恰好能配成整套?并计算出能配成多少套?
五.求年龄的问题
这类问题中一般会牵涉到2个人在不同时间的年龄，可依据：①两人的年龄差始终不变;②两人成长的岁数相等；可依据这两个等量关系中的一个列出方程。
时间 甲 乙
以前
现在
将来
例12.甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才4岁”，乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁”，问：甲、乙现在各几岁？ 解：设甲现在x岁，乙现在y岁，由题意得：
（根据两人的年龄差始终不变列出等式）
时间 哥哥 弟弟
今年
曾经
例13.今年，兄弟两人的岁数加起来是55岁；曾经有一年，哥哥的岁数是今年弟弟的岁数，那时哥哥的岁数恰好是弟弟的两倍，问：哥哥和弟弟今年多大？ 解：设哥哥今年x岁，弟弟今年y岁,由题意得：
（等量关系：哥哥的年龄+弟弟的年龄=总年龄
哥哥今年的年龄- 弟弟今年的年龄=哥哥曾经的年龄- 弟弟曾经的年龄）
针对性训练:
今年,小李的年龄是他爷爷的1/5.小李发现,12年之后,他的年龄变成爷爷的1/3.试求今年小他的年龄.
六、数字问题
一个多位数：abc=a×100+ b×10+ c（如547=5×100+4×10+7）
abc=a×100+ bc （如547=5×100+47）
例14.一次小红把一个题目的答案的十位与个位数字写倒了，结果比正确答案小27，而正确答案的十位数字是个位数字的2倍，求正确答案。
解：设正确答案中十位上数字为x,个位上数字为y，由题意得：
例15.一个三位数，百位上的数字与其后的两位数之和为58，若把百位上的数字已到这个数的最后，所得的新三位数比原数大306，求原来的三位数。
解：设原数百位上数字为x，后两位的数字为两位数y，由题意得：
此类题一是要设的准确，究竟是设原数还是新数；二是要熟悉多位数的表示。
针对性训练:
1.一个三位数,百位上的数比十位上的数大2,个位上的数是十位上的数的2倍,将个位上的数与百位上的数对调得到一个新的三位数,新的三位数比原来的三位数小99,求原来这个三位数.
2.一个三位数的个位数字是7,若把个位数字移到首位,则新数比原数的5倍还多86,求这个三位数.
七、等积问题
这里，等积指的是面积或体积相等。 其基本数量关系式是：形变前的体积=形变后的体积
例16.某工厂锻造直径为80mm，高30mm的圆柱形毛坯，需要截取直径为4cm的圆钢多少长？
解：设需要截取直径为4cm的圆钢x mm,由题意得： (V柱体=πr2×h)
本题解题时有两处容易出错：一是要注意单位的统一；二是不要把直径当半径来做。
例17.在一个底面直径为5cm，高为18cm的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径为6cm，高10cm的圆柱形玻璃杯内，能否完全装下？若装不下，瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面距杯口的距离。
解：①圆柱形瓶的体积为：
圆柱形玻璃杯的体积为：
两者体积比较：
②设瓶内水面还有x cm高，得：
针对性训练:
1.一只直径为90毫米的圆柱体玻璃杯中装满了水,把杯中的水放入一个底面积为(131×131)毫米2,高为81毫米的长方体的铁盒中,当铁盒装满水时,玻璃杯中水的高度大约下降了多少毫米?(精确到0.1毫米)
2.现有一张长40cm、宽30cm的长方形铁皮,用它制作一个圆柱形铁桶侧面,另有足够大的铁皮做桶底,问怎样制作能使铁桶的容积最大?
八、利润问题
基本数量关系：利润=售价－进价 ；售价=定价×折扣 ；利润率=
例18、某商品因换季打折出售，若按定价的75％出售，要赔25元；若按定价的90％出售，则赚20元，问商品定价。
解：设商品定价x元，由题意得：
（利用本金不变列式）
例19.某种商品按成本增加25％定价出售，后因库存积压需降价处理，如果每件商品仍想获得10％的利润，问降价时应按原定价的几折出售？
解：设成本为a 元，降价时应按原定价的x份出售,由题意得： 本题未知量很多，但我们知道：定价=(1＋25％)成本，可先将成本设为a 元，则定价=(1＋25)％a 元，实际售价=（1+25％）ax,由基本数量关系式可列方程：
(此时方程两边可同时除以a，将a约去)
针对性训练:
1.一商店把某种羊毛衫按标价的八折出售,仍可获利20%,若该品牌的羊毛衫的进价每件是100元,则每件标价是多少元?
2.某商品的进价是400元,标价是550元,按标价的八折出售时,该商品的利润率是多少?
3.某商品的售价为每件900元,为了参与市场竞争,商店按售价9折再让利40元销售,此时仍可获利10%,则商品的进价是多少元?
4.某商贩以每千克3元的进价购进苹果若干筐,然后以每千克4元的价格售出,当售出全部苹果的一半零10筐时,就收回了成本,他一共购进了多少筐苹果?
5.甲、乙两种服装的成本共500元,商店老板为获取利润,决定将甲服装按50%的利润定价,乙服装按40%的利润定价.在实际出售时,应顾客要求,两件服装均定9折出售,这样商店共获利157元.求甲乙两种服装的成本各是多少元?
解方程
3X+189=521
4Y+119=22
3X*189=5
8Z/6=458
3X+77=59
4Y-6985=81
87X*13=5
7Z/93=41
15X+863-65X=54
58Y*55=27489
z*(z-3)=4
方程x2＝ 的根为 。
2、 方程（x+1）2－2（x－1）2=6x－5的一般形式是 。
3、 关于x的一元二次方程x2+mx+3=0的一个根是1，则m的值为 。
4、 已知二次三项式x2+2mx+4－m2是一个完全平方式，则m= 。
5、 已知 +（b－1）2=0，当k为 时，方程kx2+ax+b=0有两个不等的实数根。
6、 关于x的方程mx2－2x+1=0只有一个实数根，则m= 。
7、 请写出一个根为1，另一个根满足－1<x<1的一元二次方程是 。
8、 关于x的方程x2－（2m2+m－6）x－m=0两根互为相反数，则m= 。
9、 已知一元二次方程（a－1）x2+x+a2－1=0的两根为x1,x2，且x1+x2= ，则x1,x2= 。
10某木材场原有木材存量为a立方米，已知木材每年以20%的增长率生长，到每年冬天砍伐的木材量为x立方米，则经过一年后木材存量为 立方米，经过两年后，木材场木材存量为b立方米，试写出a,b,m之间的关系式：
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