Question

如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分

如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S 1 、S 2 、S 3 、S 4 ，给出如下结论：①S 1 +S 2 =S 3 +S 4 ② S 2 +S 4 = S 1 + S 3 ③若S 3 ="2" S 1 ，则S 4 ="2" S 2 ④若S 1 = S 2 ，则P点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是 ▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）.

Answer 1

②④。

矩形的性质，相似 如图，过点P分别作四个三角形的高， ∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边， ∴此时两三角形的高的和为AB， ∴S 1 +S 3 = S 矩形ABCD ； 同理可得出S 2 +S 4 = S 矩形ABCD 。 ∴②S 2 +S 4 = S 1 + S 3 正确，则①S 1 +S 2 =S 3 +S 4 错误。 若S 3 ="2" S 1 ，只能得出△APD与△PBC高度之比，S 4 不一定等于2S 2 ；故结论③错误。 如图，若S 1 =S 2 ，则 ×PF×AD= ×PE×AB， ∴△APD与△PBA高度之比为：PF：PE =AB：AD 。 ∵∠DAE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四边形AEPF是矩形， ∴矩形AEPF∽矩形ABCD。连接AC。 ∴PF：CD ="PE" ：BC=AP：AC， 即PF：CD ="AF" ：AD=AP：AC。 ∴△APF∽△ACD。∴∠PAF=∠CAD。∴点A、P、C共线。∴P点在矩形的对角线上。 故结论④正确。 综上所述，结论②和④正确。