Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=－x 2 ＋bx＋c经过A、B两点

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x＋4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=－x 2 ＋bx＋c经过A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥轴于D，交AB于点E．当点P运动到什么位置时，线段PE最长？此时PE等于多少？（3）如果平行于x轴的动直线l与抛物线交于点Q，与直线AB交于点N，点M为OA的中点，那么是否存在这样的直线l，使得△MON是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）y=－x 2 －3x＋4，C（1，0）（2）当t=-2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（－2，6）（3）存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。所求Q点的坐标为 （ ，3）或（ ，3）或（ ，2）或（ ，2）

解：（1）∵直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（－4，0），B（0，4）。 ∵抛物线y=－x 2 ＋bx＋c经过A、B两点， ∴ ，解得 。 ∴抛物线解析式为y=－x 2 －3x＋4。 令y=0，得－x 2 －3x＋4=0，解得x 1 =－4，x 2 =1， ∴C（1，0）。 （2）如图1， 设D（t，0）。 ∵OA=OB，∴∠BAO=45°。 ∴E（t，t＋4），P（t，－t 2 －3t＋4）。 PE=y P －y E =－t 2 －3t＋4－t－4=－t 2 －4t=－（t+2） 2 +4。 ∴当t=-2时，线段PE的长度有最大值4，此时P（－2，6）。 （3）存在。如图2，过N点作NH⊥x轴于点H。 设OH=m（m＞0），∵OA=OB，∴∠BAO=45°。 ∴NH=AH=4－m，∴y Q =4－m。 又M为OA中点，∴MH=2－m。 当△MON为等腰三角形时： ①若MN=ON，则H为底边OM的中点， ∴m=1，∴y Q =4－m=3。 由－x Q 2 －3x Q ＋4=3，解得 。 ∴点Q坐标为（ ，3）或（ ，3）。 ②若MN=OM=2，则在Rt△MNH中， 根据勾股定理得：MN 2 =NH 2 ＋MH 2 ，即2 2 =（4－m） 2 ＋（2－m） 2 ， 化简得m 2 －6m＋8=0，解得：m 1 =2，m 2 =4（不合题意，舍去）。 ∴y Q =2，由－x Q 2 －3x Q ＋4=2，解得 。 ∴点Q坐标为（ ，2）或（ ，2）。 ③若ON=OM=2，则在Rt△NOH中， 根据勾股定理得：ON 2 =NH 2 ＋OH 2 ，即2 2 =（4－m） 2 ＋m 2 ， 化简得m 2 －4m＋6=0，∵△=－8＜0， ∴此时不存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。 综上所述，存在这样的直线l，使得△MON为等腰三角形。所求Q点的坐标为 （ ，3）或（ ，3）或（ ，2）或（ ，2）。 （1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式，并求出抛物线与x轴另一交点C的坐标。 （2）求出线段PE长度的表达式，设D点横坐标为t，则可以将PE表示为关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出PE长度的最大值。 （3）根据等腰三角形的性质和勾股定理，将直线l的存在性问题转化为一元二次方程问题，通过一元二次方程的判别式可知直线l是否存在，并求出相应Q点的坐标。 “△MON是等腰三角形”，其中包含三种情况：MN=ON，MN=OM，ON=OM，逐一讨论求解。