Question

在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），C（0，b）满足（a+1）2+b+3=0（1）直接写出：a=______，b=______

在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），C（0，b）满足（a+1）2+b+3=0（1）直接写出：a=______，b=______；（2）点B为x轴正半轴上一点，如图1，BE⊥AC于点E，交y轴于点D，连接OE，若OE平分∠AEB，求直线BE的解析式；（3）在（2）条件下，点M为直线BE上一动点，连OM，将线段OM逆时针旋转90°，如图2，点O的对应点为N，当点M的运动轨迹是一条直线l，请你求出这条直线l的解析式．

Answer 1

解：（1）依题意得 a+1=0，b+3=0，
解得 a=-1，b=-3．
故答案是：-1；-3；

（2）如图1，过点O作OF⊥OE，交BE于F．
∵BE⊥AC，OE平分∠AEB，
∴△EOF为等腰直角三角形．
∵在△EOC与△FOB中，

∠1＝∠2 OE＝OF ∠OEC＝∠OFB

，
∴△EOC≌△FOB（ASA），
∴OB=OC．
∴在△AOC与△DOB中，

∠2＝∠1 OC＝OB ∠AOC＝∠DOB

，
∴△AOC≌△DOB（ASA），
∴OA=OD，
∵A（-1，0），B（0，-3），∴D（0，-1），B（3，0）
∴直线BD，即直线BE的解析式y=

1

3

x-1；

（3）依题意，△NOM为等腰Rt△，
如图2，过点M作MG⊥x轴，垂足为G，过点N作NH⊥GH，垂足为H，
∵△NOM为等腰Rt△，
则易证△GOM≌△HMN，
∴OG=MH，GM=NH，
由（2）知直线BD的解析式y=

1

3

x-1，
设M（m，

1

3

m-1），则H（m，-

2

3

m-1），
∴N（

4

3

m-1，-

2

3

m-1），
令

4

3

m-1=x，-

2

3

m-1=y，
消去参数m得，y=-

1

2

x-

3

2

即直线l的解析式为y=-

1

2

x-

3

2

．
（说明：此题用取特殊点计算的方法求解析式也行）