Question

一个数学题，求高手帮忙

已知圆（x-1)^2+y^2=9,直线l：y=x-m, 当直线l与圆M相交于两点，若在 x轴上存在一点R，使得RP垂直RQ 求m的取值范围

Answer 1

解：由（x-1)^2+y^2=9与y=x-m得2x^2-2(m+1)x+m^2-8=0，由△>0得1-3√2<m<1+3√2……①
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，R(a，0)，由RP⊥RQ得x1x2-a(x1+x2)+a^2+y1y2=0，
∵y1y2=(x1-m)(x2-m)=x1x2-m(x1+x2)+m^2 ,∴2x1x2-(a+m)(x1+x2)+a^2+m^2=0……②，
又x1+x2=m+1，x1x2=1/2m^2-4，代入②得2m^2-8-(a+m)(m+1))+a^2+m^2=0，即
a^2-(m+1)a+m^2-m-8=0有解，∴ (m+1)^2-4(m^2-m-8)>0，即1-2√3<m<1+2√3，与①取交得
1-2√3<m<1+2√3，所以m的取值范围为(1-2√3，1+2√3)

Answer 2

因为y=x-m平行y=x

根据题设观察可知PQ中点过y=-x+1
由
y=x-m

y=-x+1
得
x=(1+m)/2
y=(1-m)/2
想要x轴上R点RP⊥RQ，则要以该中点为圆心，PQ/2半径的圆与x轴有交点
(x-(1+m)/2)^2+(y-(1-m)/2)^2=1/2PQ
联解
y=x-m
(x-1)^2+y^2=9
x1=(1+m)/2+根号[18-(m-1)^2]/2
x2=(1+m)/2-根号[18-(m-1)^2]/2
y1=(1-m)/2+根号[18-(m-1)^2]/2
y2=(1-m)/2-根号[18-(m-1)^2]/2
(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=PQ^2
求得PQ代入
(x-(1+m)/2)^2+(y-(1-m)/2)^2=1/2PQ
令y=0
求b^2-4ac>=0吧，头晕，我是这个思路

Answer 3

只需要满足直线与圆有两个交点即可!
x^2-2x+1+x^2-2mx+m^2-9=0
2x^2-2(m+1)x+m^2-9=0
4(m+1)^2-8(m^2-9)>0

1-2根号6<m<1+2根号6