Question

已知，如图，点C是线段AB上任意一点，分别以AC,BC为边在直线AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE,

AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.求证：△CMN是等边三角形

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Answer 1

证明：（1）∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴AC=DC，EC=BC，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
AC=DC ∠ACE=∠DCB EC=BC
∴△ACE≌△DCB（SAS）．
∴AE=BD
（2）由（1）可知：△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，即∠CAM=∠CDN．
∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴AC=DC，∠ACM=∠BCE=60°．
又点A、C、B在同一条直线上，
∴∠DCE=180°-∠ACD-∠BCE=180°-60°-60°=60°，
即∠DCN=60°．
∴∠ACM=∠DCN．
在△ACM和△DCN中， ∠CAM=∠CDN AC=DC ∠ACM=∠DCN
∴△ACM≌△DCN（ASA）．
∴CM=CN．
(3)由（2）可知CM=CN,∠DCN=60°
∴△CMN为等边三角形