Question

已知圆M：x 2 +（y-2） 2 =1，设点B，C是直线l：x-2y=0上的两点，它们的横坐标分别是t，t+4（t∈R），点P

已知圆M：x 2 +（y-2） 2 =1，设点B，C是直线l：x-2y=0上的两点，它们的横坐标分别是t，t+4（t∈R），点P在线段BC上，过P点作圆M的切线PA，切点为A．（1）若t=0， MP= 5 ，求直线PA的方程；（2）经过A，P，M三点的圆的圆心是D，求线段DO长的最小值L（t）．

Answer 1

（1）由圆M：x 2 +（y-2） 2 =1，得到圆心M（0，2），半径r=1， 设P（2a，a）（0≤a≤2）． ∵ M(0，2)，MP= 5 ，∴ (2a) 2 + (a-2) 2 = 5 ． 解得a=1或 a=- 1 5 （舍去）． ∴P（2，1）．由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k． 所以直线PA的方程为y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0． ∵直线PA与圆M相切， ∴ |-2-2k+1| 1+ k 2 =1 ， 解得k=0或 k=- 4 3 ． ∴直线PA的方程是y=1或4x+3y-11=0； （2）设 f(a ) min =f( t 2 +2)= 5 4 ( t 2 +2 ) 2 +( t 2 +2)+1= 15 16 t 2 +3t+8 ∵PA与圆M相切于点A，∴PA⊥MA． ∴经过A，P，M三点的圆的圆心D是线段MP的中点． ∵M（0，2），∴D的坐标是 (a， a 2 +1) ． 设DO 2 =f（a）． ∴ f(a)= a 2 +( a 2 +1 ) 2 = 5 4 a 2 +a+1= 5 4 (a+ 2 5 ) 2 + 4 5 ． 当 t 2 ＞- 2 5 ，即 t＞- 4 5 时， f(a ) min =f( t 2 )= 5 16 t 2 + t 2 +1 ； 当 t 2 ≤- 2 5 ≤ t 2 +2 ，即 - 24 5 ≤t≤- 4 5 时， f(a ) min =f(- 2 5 )= 4 5 ； 当 t 2 +2＜- 2 5 ，即 t＜- 24 5 时， f(a ) min =f( t 2 +2)= 5 4 ( t 2 +2 ) 2 +( t 2 +2)+1= 15 16 t 2 +3t+8 则 L(t)= 1 4 5 t 2 +8t+16 ，t＞- 4 5 2 5 5 ，- 24 5 ≤t≤- 4 5 1 4 5 t 2 +48t+128 ，t＜- 24 5 ．