如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,

如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连结DF.①试说明AC=EF;②求证:... 如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连结DF. ①试说明AC=EF;②求证:四边形ADFE是平行四边形. 展开
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淦青文3C
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本题考查的是全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定
①由△ABE是等边三角形可得AB=AE,∠BAE=60°,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,可得∠ABC=60°
即可得到∠ABC=∠BAE,再有EF⊥AB,,即可根据AAS证得△ACB≌△EFA,即得结果;
②由△ACD是等边三角形可得AC=AD,∠DAC=60°,即可证得AD∥EF,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结果。
①∵△ABE是等边三角形,
∴AB=AE,∠BAE=60°.
在Rt△ABC中,
∵∠BAC=30°,
∴∠ABC=60°,
∴∠ABC=∠BAE.
∵EF⊥AB,
∴∠EFA=∠ACB=90°,
∴△ACB≌△EFA(AAS),
∴AC=EF.
②∵△ACD是等边三角形,
∴AC=AD,∠DAC=60°.
又∵AD=EF,∠DAF=60°+30°=90°=∠EFA.
∴AD∥EF
∴四边形ADFE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
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