Question

如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，

如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边三角形ACD、等边三角形ABE.已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连结DF. ①试说明AC＝EF；②求证：四边形ADFE是平行四边形．

Answer 1

见解析

本题考查的是全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定 ①由△ABE是等边三角形可得AB＝AE，∠BAE＝60°，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，可得∠ABC＝60° 即可得到∠ABC＝∠BAE，再有EF⊥AB，，即可根据AAS证得△ACB≌△EFA，即得结果； ②由△ACD是等边三角形可得AC＝AD，∠DAC＝60°，即可证得AD∥EF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得结果。 ①∵△ABE是等边三角形， ∴AB＝AE，∠BAE＝60°. 在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABC＝∠BAE. ∵EF⊥AB， ∴∠EFA＝∠ACB＝90°， ∴△ACB≌△EFA(AAS)， ∴AC＝EF. ②∵△ACD是等边三角形， ∴AC＝AD，∠DAC＝60°. 又∵AD＝EF，∠DAF＝60°＋30°＝90°＝∠EFA. ∴AD∥EF ∴四边形ADFE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．