Question

已知函数f（x）=lnx-ax+1?ax-1（a∈R）（I）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（

已知函数f（x）=lnx-ax+1?ax-1（a∈R）（I）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（II）当a≤12时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

（I）当a=-1时，f（x）=lnx+x+

2

x

-1
∴f′(x)＝

1

x

+1?

2

x2

∴f′（2）=1
∵f（2）=2+ln2
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-2-ln2=x-2，即y=x+ln2；
（II）f′(x)＝

1

x

?a?

1?a

x2

=-

(x?1)[ax?(1?a)]

x2

当0＜a≤

1

2

时，令f′（x）＜0，可得x＜1或x＞

1?a

a

；令f′（x）＞0，可得1＜x＜

1?a

a

；
当a=0时，令f′（x）＞0，可得x＜1；令f′（x）＜0，可得x＞1；
当a＜0时，令f′（x）＜0，可得

1?a

a

＜x＜1；令f′（x）＞0，可得x＜

1?a

a

或x＞1，
综上，当0＜a≤

1

2

时，函数的单调减区间为（-∞，1），（

1?a

a

，+∞）；单调增区间为（1，

1?a

a

）；
当a=0时，函数的单调增区间为（-∞，1）；单调减区间为（1，+∞）；
当a＜0时，单调减区间为（

1?a

a

，1）；单调增区间为（-∞，

1?a

a

），（1，+∞）