Question

若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+12a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是______

若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+12a+2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

|2x-1|+|x+2|=

?3x?1，x＜?2 ?x+3，?2≤x≤ 1 2 3x?1，x＞ 1 2

，
∴x=

1

2

时，|2x-1|+|x+2|的最小值为

5

2

，
∵不等式|2x-1|+|x+2|≥a²+

1

2

a+2对任意实数x恒成立，
∴a²+

1

2

a+2≤

5

2

，
∴a²+

1

2

a-

1

2

≤0，
∴-1≤a≤

1

2

，
∴实数a的取值范围是[-1，

1

2

]．
故答案为：[-1，

1

2

]．