Question

如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1＝3．（1）画出该三棱柱的

如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1＝3．（1）画出该三棱柱的三视图，并标明尺寸；（2）求三棱锥A1-AB1C1的体积；（3）若D是棱CC1的中点，则当点E在棱AB何处时，DE∥平面AB1C1？并证明你的结论．

Answer 1

（1）三视图如图所示：
（2）在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴由勾股定理得AC＝

3

．
又∵AA1＝

3

，AA₁⊥平面ABC，∴矩形ACC₁A₁为正方形．
∴VA1?AB1C1＝VA?A1B1C1＝

1

3

VABC?A1B1C1＝

1

3

×

1

2

×

3

×1×

3

＝

1

2

．
（3）当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB₁C₁．
证明如下：
如图，取BB₁的中点F，连EF、DF、DE，
∵D、E、F分别为CC₁、AB、BB₁的中点，
∴EF∥AB₁．
∵AB₁?平面AB₁C₁，EF?平面AB₁C₁，
∴EF∥平面AB₁C₁．
同理可证FD∥平面AB₁C₁．
∵EF∩FD=F，
∴平面EFD∥平面AB₁C₁．
∵DE?平面EFD，
∴DE∥平面AB₁C₁．