Question

在x->0（负）时，lim |X|sin（x-2）/x(x-1)(x-2)² =？，我看答案里直接将0代进去算

在x->0（负）时，lim |X|sin（x-2）/x(x-1)(x-2)²怎么求，我看答案里直接将0代进去算出来了，等于-sin（2）/4，我不懂怎么可以将0代进去呢，明明在趋于0的过程中，不能取到0值的啊？

Answer 1

只要要去极限所趋向的因式就可以了

例如x趋向0，那么分子和分母有x这项的话会令分式变为不定式

所以要消掉x这项因式

消除x后，把0代入，其他因式都不等于0，所以可取极限值了

答案在图片上，点击可放大。
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追问

你好，其实我纠结的点就在于带入0的这一步，为何可以直接带入0去算呢？x趋于0的过程中并没有0存在啊，相当于就是说0不在定义域内（虽然这么说不是很准确）

就像图片里面的这道题，因为xsin(1/x)能取到0值，所以不符合当x->0时（就是取不到0值）sinx~x这个定理，从而这道题的极限并不是等于1而是不存在。

我不知道自己说清楚我的疑惑没，我现在脑子乱成浆糊了....

追答

这只是一个趋势，前面的极限符号(lim)就已经说明函数值未必能取这一点，所以有补充定义，在x = 0处补上数值等等这做法

而你这题lim(x→0) sin[x * sin(1/x)]/[xsin(1/x)]，还真是考研程度了

简单来想，由于sin(1/x)有机会等于0，所以不能用等价无穷

而且，当x趋向0时，分母有不断出现0的情况，所以极限不存在

你看这函数像是不断趋向1，但是其本身也是在不断震荡的，就如一个波形，永远不会趋向固定的一点。严格来说，对任意δ > 0，存在一个足够大的整数k，使1/(kπ) ∈ (0，δ)

令x₀ = 1/(kπ)，有x₀sin(1/x₀) = 0，则sin[x₀sin(1/x₀)]/[x₀sin(1/x₀)]没有意义，在(- δ，0)的情况也一样。即无论x = 0的去心邻域取多么小也好，在x = 0的去心邻域内部都一定存在让sin[x₀sin(1/x₀)]/[x₀sin(1/x₀)]无意义的点，所以极限不存在了