Question

如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点O是BC的中点，连接OA．（1）OA=OB=OC成立吗？请说明理由．（2

如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点O是BC的中点，连接OA．（1）OA=OB=OC成立吗？请说明理由．（2）如图2，若点M，N分别在线段AB，AC上移动，在移动中始终保持AN=BM，△OAN≌△OBM成立吗？，并说明理由．（3）如图3，若点M，N分别在线段BA．AC的延长线上移动，在移动中始终保持AN=BM，请判断△OMN的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）成立． 理由：∵点O是BC的中点 ∴BO=CO= 1 2 BC， ∵∠BAC=90° ∴AO= 1 2 BC， ∴OA=OB=OC； （2）成立． 理由：∵O是BC的中点 ∴AO是Rt△ABC的BC边上的中线 又∵AB=AC， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC， ∴∠B=∠OAN=45°，AO=BO， ∵在△OAN和△OBM中， AN=BM ∠NAO=∠B AO=BO ， ∴△OAN≌△OBM（SAS）； （3）△OMN是等腰直角三角形； 理由：∵O是BC的中点 ∴AO是Rt△ABC的BC边上的中线 又∵AB=AC， ∴AO⊥BC，AO平分∠BAC， ∴∠B=∠OAN=45°，AO=BO， ∵AN=BM， ∴AN=BM， ∵在△OAN和△OBM中， AN=BM ∠NAO=∠B AO=BO ， ∴△OAN≌△OBM（SAS）； ∴OM=ON，∠AOM=CON， ∴∠MON=∠MOC+∠CON=∠MOC+∠AOM=∠AOC=90°， ∴△OMN是等腰直角三角形．