Question

已知 1 3 ≤a≤1，若f（x）=ax 2 -2x+1在区间[1，3]上的最大值M（a），最小值N（a），设g（a

已知 1 3 ≤a≤1，若f（x）=ax 2 -2x+1在区间[1，3]上的最大值M（a），最小值N（a），设g（a）=M（a）-N（a）．（1）求g（a）的解析式；（2）判断g（a）单调性，求g（a）的最小值．

Answer 1

（1）当 1 3 ≤a≤ 1 2 时N（a）=f（ 1 a ），M（a）=f（1）， 此时g（a）=f（1）-f（ 1 a ）=a+ 1 a -2； 当 1 2 ＜a≤1时N（a）=f（ 1 a ），M（a）=f（3）， 此时g（a）=f（3）-f（ 1 a ）=9a+ 1 a -6； ∴g（a）= a+ 1 a -2         1 3 ≤ a≤ 1 2 9a+ 1 a -6    1 2 ＜a≤1       …（6分） （2）当 1 3 ≤a≤ 1 2 时，∵g（a）=a+ 1 a -2，∴g′（a）=1- 1 a 2 ＜0， ∴g（a）在[ 1 3 ， 1 2 ]上单调递减． 同理可知g（a）在（ 1 2 ，1]上单调递增 ∴g（a） min =g（ 1 2 ）= 1 2 ．…（12分）