Question

已知a=1，a=53，an+2=53an+1?23an，求数列{an}的通项公式

已知a=1，a=53，an+2=53an+1?23an，求数列{an}的通项公式．

Answer 1

由已知a_n+2=

5

3

an+1?

2

3

an，得a_n+2-a_n+1=

2

3

（a_n+1-a_n），
所以数列{a_n+1-a_n}是以

2

3

为公比的等比数列，且首项为a₂-a₁=

5

3

-1=

2

3

，
数列{a_n+1-a_n}的通项公式为a_n+1-a_n=

2

3

?

2

3

n?1=(

2

3

)n
当n≥2时，a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…（a_n-a_n-1）=1+

2

3

+(

2

3

)2…+(

2

3

)n?1=

1?( 2 3 )n

1? 2 3

=3[1-(

2

3

)n]，
又n=1时a₁=1，也符合上式，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=3[1-(

2

3

)n]