Question

已知AB是抛物线y2=ax（a＞0）的焦点弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），点F是抛物线的焦点，则有S△AOB=___

已知AB是抛物线y2=ax（a＞0）的焦点弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），点F是抛物线的焦点，则有S△AOB=______（θ为直线AB的倾斜角）．

Answer 1

∵抛物线y²=ax（a＞0）的焦点坐标为F（

a

4

，0）
∴设直线AB的方程为x=my+

a

4

，（m是斜率tanθ的倒数）
代入y²=ax，可得y²-amy-

a2

4

=0
∴y₁+y₂=am，y₁y₂=-

a2

4

，
可得y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=a²m²+

a2

2

，
∵y₁²+y₂²=a（x₁+x₂），∴x₁+x₂=am²+

a

2

，
∴焦点弦|AB|=x₁+x₂+

a

2

=am²+a=a（m²+1），
∵m²+1=

1

tan2θ

+1=

1

sin2θ

∴|AB|=am²+a=

a

sin2θ

∵∠OFB=θ，得O到AB的距离d=|OF|sinθ=

asinθ

4

∴S_△AOB=

1

2

?|AB|?d=

1

2

?

a

sin2θ

?

asinθ

4

=

a2

8sinθ

故答案为：

a2

8sinθ