Question

已知：如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是A（1，4）；B（3，0），以AB为直径的圆M与y轴相交于点

已知：如图，平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是A（1，4）；B（3，0），以AB为直径的圆M与y轴相交于点C、D（点C在D的下方）．（1）求直线AB的函数解析式和线段AB的长；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点P在以AB为直径的圆M上，且∠BAP=∠OBC，设直线AP与x轴的交点为Q，求点Q的坐标．

Answer 1

（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
把A（1，4）；B（3，0）代入得

k+b＝4 3k+b＝0

，
解得

k＝?2 b＝6

，
所以直线AB的解析式为y=-2x+6；
线段AB的长=

(1?3)2+(4?0)2

=2

5

；


（2）△ABC为等腰直角三角形．理由如下：
∵AB为⊙M的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
设C点坐标为（0，t），
∴BC²=（3-0）²+（0-t）²=9+t²，AC²=（1-0）²+（4-t）²=1+（4-t）²，
而AB=2

5

，
∴9+t²+1+（4-t）²=20，
解得t₁=1，t₂=3，
∴C点坐标为（0，1），
∴BC²=9+t²=10，AC²=1+（4-t）²=10，即AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形；


（3）如图，∵AB为⊙M的直径，
∴∠APB=90°，
∵∠BAP=∠OBC，
∴Rt△APB∽Rt△BOC，
∴

PA

OB

=