Question

已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（1）当a＝?14时，求函数f（x）的单调区间；（2）任意x∈[0，+∞），f（x

已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（1）当a＝?14时，求函数f（x）的单调区间；（2）任意x∈[0，+∞），f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）a＝?

1

4

时，f′(x)＝

?(x+2)(x?1)

2(x+1)

，
∵x＞-1，∴f'（x）＞0时-1＜x＜1；f'（x）＜0时x＞1，
故函数f（x）在区间（-1，1）递增，在区间（1，+∞）递减
（2）由已知得x≥0时，ax²+ln（x+1）≤x恒成立，即x≥0时，ax²+ln（x+1）-x≤0恒成立．
设g（x）=ax²+ln（x+1）-x，g′(x)＝x?

2ax+2a?1

x+1

，
①a≤0时，∵x≥0，∴g'（x）≤0，g（x）在区间[0，+∞）递减，∴x≥0时，g（x）≤g（0）=0，故a≤0；
②a＞0时，若g'（x）＞0，则x＞

1

2a

?1，函数g（x）在区间(

1

2a

?1，+∞)递增，
若

1

2a

?1≤0，即a≥

1

2

时，g（x）在[0，+∞）递增，则g（x）≥g（0）=0，矛盾，故舍去；
若

1

2a

?1＞0，即0＜a＜

1

2

时，g（x）在(0，

1

2a

?1)递减，在(

1

2a

?1，+∞)递增，且x→+∞时ax²-x+ln（x+1）→+∞，矛盾，故舍去．
综上，若对任意x∈[0，+∞），f（x）≤x恒成立，实数a的取值范围为a≤0．

Answer 2

（1）a＝?
1
4
时，f′(x)＝
?(x+2)(x?1)
2(x+1)
，
∵x＞-1，∴f'（x）＞0时-1＜x＜1；f'（x）＜0时x＞1，
故函数f（x）在区间（-1，1）递增，在区间（1，+∞）递减
（2）由已知得x≥0时，ax2+ln（x+1）≤x恒成立，即x≥0时，ax2+ln（x+1）-x≤0恒成立．
设g（x）=ax2+ln（x+1）-x，g′(x)＝x?
2ax+2a?1
x+1
，
①a≤0时，∵x≥0，∴g'（x）≤0，g（x）在区间[0，+∞）递减，∴x≥0时，g（x）≤g（0）=0，故a≤0；
②a＞0时，若g'（x）＞0，则x＞1
2a1，函数g（x）在区间(12a?1，+∞)递增，若12a?1≤0，即a≥12时，g（x）在[0，+∞）递增，则g（x）≥g（0）=0，矛盾，故舍去；
若12a?1＞0，即0＜a＜12时，g（x）在(0，12a?1)递减，在(12a?1，+∞)递增，且x→+∞时ax2-x+ln（x+1）→+∞，矛盾，故舍去．
综上，若对任意x∈[0，+∞），f（x）≤x恒成立，实数a的取值范围为a≤0．