Question

用反证法证明：根号二是无理数

用反证法证明：根号二是无理数

Answer 1

假设根号2是有理数，那么假设根号2=m/n

根号2=m/n 两边平方化简 得 2n^2=m^2

于是m一定要是偶数，可以设m=2s，其中s是正整数

那么2n^2=4s^2 化简n^2=2s^2

于是n也一定要是偶数，于是m、n都是偶数。这就和假设m、n互质相矛盾了，所以假设不成立，即根号2是无理数。

扩展资料：

常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。

无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。例如，数字π的十进制表示从3.141592653589793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。

必须终止或重复的有理数字的十进制扩展的证据不同于终止或重复的十进制扩展必须是有理数的证据，尽管基本而不冗长，但两种证明都需要一些工作。数学家通常不会把“终止或重复”作为有理数概念的定义。

Answer 2

假设根号2为有理数,那么存在两个互质的正整数p,q,使得:
根号2=p/q
于是
p=(根号2)q
两边平方得
p^2=2q^2(“^”是几次方的意思）
由2q^2是偶数，可得p^2是偶数。而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数。
因此可设p=2s,代入上式，得：
4s^2=2q^2,
即
q^2=2s^2.
所以q也是偶数。这样，p,q都是偶数，不互质，这与假设p,q互质矛盾。
这个矛盾说明，根号2不能写成分数的形式，即根号2不是有理数。

Answer 3

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。 既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式： √2=p/q 又由于p和q没有公因数可以约去，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。 把 √2=p/q 两边平方 得 2=(p^2)/(q^2) 即 2(q^2)=p^2 由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m 由 2(q^2)=4(m^2) 得 q^2=2m^2 同理q必然也为偶数，设q=2n 既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是最简分数矛盾。这个矛盾是由假设√2是有理数引起的。因此√2是无理数。

Answer 4

假设根号二是有理数

那么，根号2=m/n，其中m和n是整数

那么m=n*根号2

因为根号2不是整数，所以上诉等式不成立。

结论与假设矛盾，故根号二是无理数

Answer 5

假设根号2是有理数，那么假设根号2=m/n（m,n都是正整数，且m,n互质，如果不互质，那么我们还可以约分，就没有意义了）
根号2=m/n
两边平方化简
得
2n^2=m^2
于是m一定要是偶数，可以设m=2s
其中s是正整数
那么2n^2=4s^2
化简n^2=2s^2
于是n也一定要是偶数，于是
m
n
都是偶数
这就和假设m
n互质相矛盾了，所以假设不成立，即根号2是无理数