Question

在 △ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB= 5 13 ，且a，b，c成 等比数列．（1）求

在 △ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB= 5 13 ，且a，b，c成 等比数列．（1）求 1 tanA + 1 tanC 的值；（2）若accosB=12，求a+c的值．

Answer 1

（1）依题意，b 2 =ac， 由正弦定理及 sinB= 5 13 ，得sinAsinC=si n 2 B= 25 169 . 1 tanA + 1 tanC = cosA sinA + cosC sinC = sin(A+C) sinAsinC = sinB sinAsinC = 5 13 × 169 25 = 13 5 . （2）由accosB=12知cosB＞0． 由 sinB= 5 13 ，得cosB=± 12 13 . （舍去负值） 从而， b 2 =ac= 12 cosB =13. 由余弦定理，得b 2 =（a+c） 2 -2ac-2accosB． 代入数值，得 13=(a+c ) 2 -2×13×(1+ 12 13 ). 解得： a+c=3 7 .